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Prim算法介绍
1.点睛
在生成树的过程中，把已经在生成树中的节点看作一个集合，把剩下的节点看作另外一个集合，从连接两个集合的边中选择一条权值最小的边即可。
2.算法介绍
首先任选一个节点，例如节点1，把它放在集合 U 中，U={1},那么剩下的节点为 V-U={2,3,4,5,6,7},集合 V 是图的所有节点集合。
现在只需要看看连接两个集合（U 和 V-U）的边中，哪一条边的权值最小，把权值最小的边关联的节点加入集合 U 中。从上图可以看出，连接两个集合的 3 条边中，1-2 边的权值最小，选中它，把节点 2 加入集合 U 中，U={1,2}，V - U={3,4,5,6}，如下图所示。
再从连接两个集合（U 和 V-U）的边中选择一条权最小的边。从上图看出，在连接两个集合的4条边中，节点2到节点7的边权值最小，选中这条边，把节点7加入集合U={1,2,7}中，V-U={3,4,5,6}。
如此下去，直到 U=V 结束，选中的边和所有的节点组成的图就是最小生成树。这就是 Prim 算法。
直观地看图，很容易找出集合 U 到 集合 U-V 的边中哪条边的权值是最小的，但在程序中穷举这些边，再找最小值，则时间复杂度太高。可以通过设置数组巧妙解决这个问题，closet[j] 表示集合 V-U 中的节点 j 到集合 U 中的最邻近点，lowcost[j] 表示集合 V-U 中节点 j 到集合 U 中最邻近点的边值，即边(j,closest[j]) 的权值。
例如在上图中，节点 7 到集合 U 中的最邻近点是2，cloeest[7]=2。节点 7 到最邻近点2 的边值为1，即边(2,7)的权值，记为 lowcost[7]=1,如下图所示。
所以只需在集合 V - U 中找到 lowcost[] 只最小的节点即可。
3. 算法步骤
1.初始化
令集合 U={u0}，u0 属于 V，并初始化数组 closest[]、lowcost[]和s[]。
2.在集合 V-U 中找 lowcost 值最小的节点t，即 lowcost[t]=min{lowcost[j]},j 属于 V-U，满足该公式的节点 t 就是集合 V-U 中连接 U 的最邻近点。
3.将节点 t 加入集合 U 中。
4.如果集合 V - U 为空，则算法结束，否则转向步骤 5。
5.对集合 V-U 中的所有节点 j 都更新其 lowcost[] 和 closest[]。if(C[t][j]按照上面步骤，最终可以得到一棵权值之和最小的生成树。
4.图解
图 G=（V,E）是一个无向连通带权图，如下图所示。
1 初始化。假设 u0=1，令集合 U={1},集合 V-U={2,3,4,5,6,7},s[1]=true，初始化数组 closest[]：除了节点1，其余节点均为1，表示集合 V-U 中的节点到集合 U 的最邻近点均为1.lowcost[]:节点1到集合 V-U 中节点的边值。closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。
初始化后的图为：
2 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=2，选中的边和节点如下图。
3 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2}，同时更新 V-U={3,4,5,6,7}
4 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 2 的邻接点是节点 3 和节点7。
C[2][3]=20C[2][7]=1更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
5 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=7，选中的边和节点如下图。
6 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,7}，同时更新 V-U={3,4,5,6}
7 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 7 的邻接点是节点 3、4、5、6。
C[7][3]=4
C[7][4]=4
C[7][5]=4
C[7][6]=4
更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
8 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=3，选中的边和节点如下图。
9 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,7}，同时更新 V-U={4,5,6}
10 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 3 的邻接点是节点 4。
C[3][4]=15>lowcost[4]=9，不更新
closest[] 和 lowcost[] 数组不改变。
更新后的集合如下图所示：
11 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=4，选中的边和节点如下图。
12 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,7}，同时更新 V-U={5,6}
13 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 4 的邻接点是节点 5。
C[4][5]=3更新后的 closest[] 和 lowcost[] 如下图所示。
更新后的集合如下图所示：
14 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=5，选中的边和节点如下图。
15 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,7}，同时更新 V-U={6}
16 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 5 的邻接点是节点 6。
C[5][6]=17更新后的集合如下图所示：
17 找 lowcost 最小的节点，对应的 t=6，选中的边和节点如下图。
18 加入集合U中。将节点 t 加入集合 U 中，U={1,2,3,4,5,6,7}，同时更新 V-U={}
19 更新。对 t 在集合 V-U 中的每一个邻接点 j,都可以借助 t 更新。节点 6 在集合 V-U 中无邻接点。不用更新 closest[] 和 lowcost[] 。
20 得到的最小生成树如下。最小生成树的权值之和为 57.
Prime 算法实现
1.构建后的图
2.代码
package graph.prim;
import java.util.Scanner;
public class Prim {
static final int INF = 0x3f3f3f3f;
static final int N = 100;
// 如果s[i]=true,说明顶点i已加入U
static boolean s[] = new boolean[N];
static int c[][] = new int[N][N];
static int closest[] = new int[N];
static int lowcost[] = new int[N];
static void Prim(int n) {
// 初始时，集合中 U 只有一个元素，即顶点 1
s[1] = true;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (i != 1) {
lowcost[i] = c[1][i];
closest[i] = 1;
s[i] = false;
} else
lowcost[i] = 0;
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
int temp = INF;
int t = 1;
// 在集合中 V-u 中寻找距离集合U最近的顶点t
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (!s[j] && lowcost[j] < temp) {
t = j;
temp = lowcost[j];
}
}
if (t == 1)
break; // 找不到 t，跳出循环
s[t] = true; // 否则，t 加入集合U
for (int j = 1; j <= n; j++) { // 更新 lowcost 和 closest
if (!s[j] && c[t][j] < lowcost[j]) {
lowcost[j] = c[t][j];
closest[j] = t;
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int n, m, u, v, w;
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
n = scanner.nextInt();
m = scanner.nextInt();
int sumcost = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
c[i][j] = INF;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
u = scanner.nextInt();
v = scanner.nextInt();
w = scanner.nextInt();
c[u][v] = c[v][u] = w;
}
Prim(n);
System.out.println("数组lowcost:");
for (int i = 1; i <= n; i++)
System.out.print(lowcost[i] + " ");
System.out.println();
for (int i = 1; i <= n; i++)
sumcost += lowcost[i];
System.out.println("最小的花费：" + sumcost);
}
}3.测试
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