Go语言浮点数的存储方式

本文将为大家详细介绍Go语言浮点数的存储方式，内容详细步骤清晰，细节处理妥当，希望大家通过这篇文章有所收获，我们先来看看浮点数如何在程序中被使用的：

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下面的一段简单程序 0.3 + 0.6 结果是什么？

1 var f1 float64 = 0.32 var f2 float64 = 0.63 fmt.Println(f1 + f2)

有人会天真的认为是0.9，但实际输出却是0.8999999999999999（go 1.13.5）

问题在于大多数小数表示成二进制之后是近似且无限的。
以0.1为例。它可能是你能想到的最简单的十进制之一，但是二进制看起来却非常复杂：0.0001100110011001100…
其是一串连续循环无限的数字（涉及到10进制转换为2进制，暂不介绍）。
结果的荒诞性告诉我们，必须深入理解浮点数在计算机中的存储方式及其性质，才能正确处理数字的计算。
golang 与其他很多语言（C、C++、Python…）一样，使用了IEEE-754标准存储浮点数。

IEEE-754 如何存储浮点数

IEEE-754规范使用特殊的以2为基数的科学表示法表示浮点数。

32位的单精度浮点数 与 64位的双精度浮点数的差异

符号位：1 为 负数， 0 为正数。
指数位：存储 指数加上偏移量，偏移量是为了表达负数而设计的。
小数位：存储系数的小数位的准确或者最接近的值。

以 数字 0.085 为例。

小位数的表达方式

以0.36 为例:
010 1110 0001 0100 0111 1011 = 0.36 (第一位数字代表1/2,第二位数字是1/4…，0.36 是所有位相加)
分解后的计算步骤为:

go语言显示浮点数 - 验证之前的理论

接下来用一个案例有助于我们理解并验证IEEE-754 浮点数的表示方式。

math.Float32bits 可以为我们打印出32位数据的二进制表示。(注：math.Float64bits可以打印64位数据的二进制)

下面的go代码将输出0.085的浮点数二进制表达，并且为了验证之前理论的正确性，根据二进制表示反向推导出其所表示的原始十进制0.085

输出：表明我们对于浮点数的理解正确。

1 Starting Number: 0.0850002 Bit Pattern: 0 | 0111 1011 | 010 1110 0001 0100 0111 10113 Sign: 0 Exponent: 123 (-4) Mantissa: 0.360000 Value: 0.085000

经典问题：如何判断一个浮点数其实存储的是整数

下面是一个有趣的问题，如何判断一个浮点数其实存储的是整数？

思考10秒钟…

下面是一段判断浮点数是否为整数的go代码实现，我们接下来逐行分析函数。
它可以加深对于浮点数的理解

1、要保证是整数，一个重要的条件是必须要指数位大于127，如果指数位为127，代表指数为0. 指数位大于127，代表指数大于0， 反之小于0.

下面我们以数字234523为例子：

第一步,计算指数。由于 多减去了23，所以在第一个判断中 判断条件为 exponent < -23
exponent := int(bits >> 23) - bias - 23

第二步，
(bits & ((1 << 23) - 1)) 计算小数位。

| (1 << 23) 代表 将1加在前方。
1 + 小数 = 系数。

 第三步，计算intTest 只有当指数的倍数可以弥补最小的小数位的时候，才是一个整数。
如下，指数是17位，其不能够弥补最后6位的小数。即不能弥补1/2^18 的小数。
由于2^18位之后为0.所以是整数。

golang decimal 包详解

要理解decimal包，首先需要知道两个重要的概念，Normal number、denormal (or subnormal) number 以及精度。

1.概念：Normal number and denormal (or subnormal) number

wiki的解释是：

什么意思呢？在IEEE-754中指数位有一个偏移量，偏移量是为了表达负数而设计的。比如单精度中的0.085，实际的指数是 -3， 存储到指数位是123。
所以表达的负数就是有上限的。这个上限就是2^-126。如果比这个负数还要小，例如2^-127,这个时候应该表达为0.1 * 2 ^ -126. 这时系数变为了不是1为前导的数，这个数就叫做denormal (or subnormal) number。
正常的系数是以1为前导的数就叫做Normal number。

2.概念：精度

精度是一个非常复杂的概念，在这里笔者讨论的是2进制浮点数的10进制精度。
精度为d表示的是在一个范围内，如果我们将d位10进制（按照科学计数法表达）转换为二进制。再将二进制转换为d位10进制。数据不损失意味着在此范围内是有d精度的。
精度的原因在于，数据在进制之间相互转换时，是不能够精准匹配的，而是匹配到一个最近的数。如图所示：

                                          精度转换

在这里暂时不深入探讨，而是给出结论：（注：精度是动态变化的，不同的范围可能有不同的精度。这是由于 2的幂 与 10的幂之间的交错是不同的。）

float32的精度为6-8位，

float64的精度为15-17位

目前使用比较多的精准操作浮点数的decimal包是shopspring/decimal。链接:https://github.com/shopspring/decimal

decimal包使用math/big包存储大整数并进行大整数的计算。

比如对于字符串 “123.45” 我们可以将其转换为12345这个大整数，以及-2代表指数。参考decimal结构体：

在本文不会探讨math/big是如何进行大整数运算的，而是探讨decimal包一个非常重要的函数：

NewFromFloat(value float64) Decimal

其主要调用了下面的函数：

此函数会将浮点数转换为Decimal结构。
读者想象一下这个问题：如果存储到浮点数中的值（例如0.1）本身就是一个近似值，为什么decimal包能够解决计算的准确性？
原因在于，deciimal包可以精准的将一个浮点数转换为10进制。这就是NewFromFloat为我们做的事情。
下面我将对此函数做逐行分析。

第5行：剥离出IEEE浮点数的指数位
exp := int(bits>>flt.mantbits) & (1<

第6行：剥离出浮点数的系数的小数位
mant := bits & (uint64(1)<

第7行：如果是指数位为0，代表浮点数是denormal (or subnormal) number；
默认情况下会在mant之前加上1，因为mant只是系数的小数，在前面加上1后，代表真正的小数位。
现在 mant = IEEE浮点数系数 * 2^53

第13行：加上偏移量，exp现在代表真正的指数。
第14行：引入了一个中间结构decimal

第15行：调用d.Assign(mant) , 将mant作为10进制数，存起来。
10进制数的每一位都作为一个字符存储到 decimal的byte数组中

第16行：调用shift函数，这个函数非常难理解。

此函数的功能是为了获取此浮点数代表的10进制数据的整数位个数以及小数位个数，此函数的完整证明附后。（注1)
exp是真实的指数，其也是能够覆盖小数部分2进制位的个数。（参考前面如何判断浮点数是整数）
exp - int(flt.mantbits)代表不能被exp覆盖的2进制位的个数
如果exp - int(flt.mantbits) > 0 代表exp能够完全覆盖小数位 因此 浮点数是一个非常大的整数，这时会调用leftShift(a, uint(k))。否则将调用rightShift(a, uint(-k)), 常规rightShift会调用得更多。因此我们来看看rightShift函数的实现。

第5行：此for循环将计算浮点数10进制表示的小数部分的有效位为 r-1 。
n >> k 是一个重要的衡量指标，代表了小数部分与整数部分的分割。此函数的完整证明附后。（注1)

第21行：此时整数部分所占的有效位数为a.dp -=（r-1）
第24行：这两个循环做了2件事情：
1、计算10进制表示的有效位数
2、将10进制表示存入bytes数组中。例如对于浮点数64.125，现在byte数组存储的前5位就是64125

继续回到newFromFloat函数，第18行，调用了roundShortest函数，
此函数非常关键。其会将浮点数转换为离其最近的十进制数。
这是为什么decimal.NewFromFloat(0.1)能够精准表达0.1的原因。

参考上面的精度，此函数主要考察了2的幂与10的幂之间的交错关系。四舍五入到最接近的10进制值。
此函数实质实现的是Grisu3 算法,有想深入了解的可以去看看论文。笔者在这里提示几点：
1、2^exp <= d < 10^dp。
2、10进制数之间至少相聚10^(dp-nd)
3、2的幂之间的最小间距至少为2^(exp-mantbits)
4、什么时候d就是最接近2进制的10进制数？
如果10^(dp-nd) > 2^(exp-mantbits)，表明 当十进制下降一个最小位数时，匹配到的是更小的数字value - 2^(exp-mantbits)，所以d就是最接近浮点数的10进制数。

继续回到newFromFloat函数，第19行 如果精度小于19，是位于int64范围内的，可以使用快速路径，否则使用math/big包进行赋值操作，效率稍微要慢一些。
第36行，正常情况几乎不会发生。如果setstring在异常的情况下会调用NewFromFloatWithExponent 指定精度进行四舍五入截断。

注一：快速的获取一个浮点数代表的十进制

以典型的数字64.125 为例 ， 它可以被浮点数二进制精准表达为：
Bit Patterns: 0 | 10000000101 | 0000000010000000000000000000000000000000000000000000
Sign: 0 | Exponent: 1029 (6) | Mantissa: 0.001953

即 64.125 = 1.001953125 * 2^6
注意观察浮点数的小数位在第九位有1, 代表2^-9 即 0.001953125.

我们在浮点数的小数位前 附上数字1，10000000010000000000000000000000000000000000000000000 代表其为1 / 2^0 .

此时我们可以认为这个数代表的是1.001953125. 那么这样长的二进制数变为10进制又是多少呢:4512395720392704。

即 1.001953125 = 4512395720392704 * 2^(-52)

所以64.125 = 4512395720392704 * 2^(-52) * 2^6 = 4512395720392704 * 2^(-46)
在这里，有一种重要的等式。即 (2 ^ -46) 等价于向左移动了46位。并且移动后剩下的部分即为64,而舍弃的部分其实是小数部分0.125。
这个等式看似复杂其实很好证明，即第46位其实代表的是2^45。其除以2^46后是一个小数。依次类推…

因此对于数字 4512395720392704 ， 我们可以用4，45，451，4512 … 依次除以 2 ^ 46. 一直到找到数451239572039270 其除以2^46不为0。这个不为0的数一定为6。
接着我们保留后46位，其实是保留了小数位。

假设 4512395720392704 / 2^46 = (6 + num)
64.125 =(6 + num) * 10 + C = 60 + 10* num + C

当我们将通过位运算保留后46位，设为A, 则 A / 2^46 = num
所以 (A * 10 + C) / 2 ^46 =(num * 10 +C) = 4.125
此我们又可以把4提取出来。

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