资讯

精准传达 • 有效沟通

从品牌网站建设到网络营销策划，从策略到执行的一站式服务

网站建设 >

查看其它板块

九宫格问题、16宫格

九宫格（Lo Shu Square）问题

将1到9的数字按照一定方式填入九宫格内。使得每一列、每一行以及两条对角线上的值都相等。

在重庆等地区，都构建了全面的区域性战略布局，加强发展的系统性、市场前瞻性、产品创新能力，以专注、极致的服务理念，为客户提供成都网站设计、网站建设 网站设计制作按需网站策划,公司网站建设,企业网站建设,成都品牌网站建设,营销型网站建设,外贸营销网站建设,重庆网站建设费用合理。

全排列（递归）

首先，用枚举法，生成各种(3, 3)的二维数组：

def perm(li):
    """递归实现列表的全排列
    如果输入是[1]，那么返回[[li],]表示有一种排列
    如果输入是[1, 2]，期望的返回的是[[1, 2], [2, 1]]，这是要之后的递归实现的
    """
    if len(li) <= 1:
        return [li]
    ret = []
    for i in range(len(li)):
        s1 = li[i:i + 1]  # 取出一个元素，组成一个列表
        rest = li[:i] + li[i + 1:]  # 剩余的元素组成一个列表
        p = perm(rest)
        for j in p:  # 迭代每一种排列
            ret.append(s1 + j)  # 和之前取出的1个元素进行拼接
    return ret

简单验证一下：

>>> perm([1, 2, 3])
[[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1]]

递归算法比较费时，如果是9个数字的全排列，要1秒左右。如果数组更大比如(4, 4)就几乎跑不完了：

995 ms ± 12.8 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)

检查函数

各种求和，然后进行检查：

def is_lo_shu_square(arr):
    """接收numpy的二维数组"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return  False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int) * arr) != n:  # 检查对角线
        return False
    if np.sum(np.eye(d, dtype=int)[::-1] * arr) != n:  # 检查次对角线
        return False
    return True

简单验证一下：

>>> np.array(([1, 1], [1, 1]))
array([[1, 1],
       [1, 1]])
>>> a = np.array(([1, 1], [1, 1]))
>>> is_lo_shu_squar(a)
True

计算结果

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in perm(li):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]

全排列（非递归）

标准库itertools里提供了排列的函数，算法比较复杂j就不研究了，顺便还有组合的函数：

import itertools
>>> list(itertools.permutations([1, 2, 3], 3))
[(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)]
>>> list(itertools.combinations([1, 2, 3], 2))
[(1, 2), (1, 3), (2, 3)]

计算还是一样的：

>>> li = [i+1 for i in range(9)]
>>> for i in itertools.permutations(li, 9):
    a = np.array(i).reshape(3, 3)
    if is_lo_shu_square(a):
        print(a)

[[2 7 6]
 [9 5 1]
 [4 3 8]]
[[2 9 4]
 [7 5 3]
 [6 1 8]]
[[4 3 8]
 [9 5 1]
 [2 7 6]]
[[4 9 2]
 [3 5 7]
 [8 1 6]]
[[6 1 8]
 [7 5 3]
 [2 9 4]]
[[6 7 2]
 [1 5 9]
 [8 3 4]]
[[8 1 6]
 [3 5 7]
 [4 9 2]]
[[8 3 4]
 [1 5 9]
 [6 7 2]]

整个计算过程的执行时间大致是从8秒提高到了6秒。时间上没有本质的区别，并且如果要去计算更大的列表的全排列，比如16个元素的，两种算法都是执行不完的。
不过非递归算法节省内存，整个过程中内存的分配不会有大的变化。而递归算法对内存的开销是巨大的。

16宫格

上面的算法虽然也支持计算16宫格，但是算法复杂度太高，至少我的电脑上运行不出结果来。第一步16个元素的全排列就计算不完，2亿亿次（16! = 20,922,789,888,000）。
很明显有些情况计算之后就能排除很多类似的情况。

数字分组（行的和相等）

先把16个数，分成4组，每组的和都相等，这就是将来每行的数字的集合：

def square_list(d):
    """选项4组数组，每组数组组成一行，并且和相等
    返回所有行的和都符合的二维元祖
    """
    nums = [i + 1 for i in range(d * d)]
    sum_line = sum(nums) // d
    # lines = itertools.combinations(nums, d)  # 4阶共有1820个
    lines = (i for i in itertools.combinations(nums, d) if sum(i) == sum_line)  # 筛选后4阶共有86个

    for square in itertools.combinations(lines, d):
        s = set()
        for line in square:
            for n in line:
                s.add(n)
        if len(s) == d*d:
            yield square  # 4阶共有392个

这步能筛选出392种组合等待续操作。

调整每行的元素排列（列的行相等）

把上面的每种组合用下面的方法再做一次遍历。每行的数字互相调整位置，使得每列的和也相等：

def square_list2(square, sum_line=None, skip=0, squares=None):
    """调整每行数字的排列，找到能使每列数字之和也相等的二维元祖
    返回的是所有列的和也都符合的二维元祖，
    这步之后4阶能筛选出22896个
    :param square:
    :param sum_line: 第一次递归的时候计算出来
    :param skip: 第一次调整第0列，之后递增
    :return:
    """
    column_count = len(square[0])
    if skip >= column_count:  # 递归的退出条件
        if squares is None:
            squares = []
        squares.append(square)
        return squares
    row_count = len(square)
    if sum_line is None:
        sum_line = sum(square[0])
    # 遍历所有的情况，交换元素直到一列的和等于sum_line，
    # 然后递归调用处理后面的列，直到处理完所有的列
    for li in index_list(row_count, column_count-skip):
        sq = [list(i) for i in square]
        sum_list = []
        for i in range(row_count):
            sum_list.append(sq[i][li[i]+skip])
        if sum(sum_list) == sum_line:
            for j in range(row_count):
                sq[j][0+skip], sq[j][li[j]+skip] = sq[j][li[j]+skip], sq[j][0+skip]
            sq_tpl = tuple((tuple(i) for i in sq))
            squares = square_list2(sq_tpl, sum_line, skip + 1, squares)
    return squares

def index_list(lenth, notation):
    """返回一个下标的列表
    被square_list2调用，遍历每一行取一个值的所有情况
    """
    counter = 0
    while True:
        n = counter
        li = []
        for i in range(lenth):
            n, index = divmod(n, notation)
            li.append(index)
        if n == 0:
            yield li[::-1]
            counter += 1
        else:
            break

这里用了递归。另外遍历下标的index_list函数用了取模取余的方式，做的是类似10进制转4进制，然后每一位就是一个下标，最后把列表反转之后返回了。
最后一个筛选出22896个数组，每个都是行和列的和都相等的。

调整行之间的排序（斜线相等）

这步不做计算了，只是遍历。一个4行调整行之间的排列，一共是24种排列，也就是之前的基础上的24倍的量，还是可以接受的。这里就是4个元素的全排列了：

def square_list3(square):
    """调整行与行之间的排列顺序，
    4阶的全排列是24种情况，所以会再多24倍数的情况要遍历
    每行以及每列的和都相等了，这样调整会影响到斜线计算的结果"""
    return itertools.permutations(square, 4)

验证函数

之前已经把可能符合条件的数组筛选到五十多万个了，这里只要再写一个函数做最终的验证就能把结果筛选出来了。这里要验证行的和、列的和、斜线的和。斜线的和不只是对角线，每个方向4条斜线一共8条斜线。另外再验证4个角和中心4块的和，不过这2步不影响结果，行和列是之前的筛选条件，也不影响结果，只是验证结果正确。只要是通过斜线的计算把不符合的再筛掉一批：

def is_lo_shu_square4(arr):
    """接收numpy的二维数组"""
    if np.shape(arr)[0] != np.shape(arr)[1]:
        return False
    d = np.shape(arr)[0]
    n = np.sum(arr) / d
    for i in np.sum(arr, axis=0):
        if i != n:
            return False
    for i in np.sum(arr, axis=1):
        if i != n:
            return False
    # 检查所有的斜线，包括对角线
    for i in range(d):
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int) + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)) * arr) != n:
            return False
        if np.sum((np.eye(d, k=i, dtype=int)[::-1] + np.eye(d, k=i-d, dtype=int)[::-1]) * arr) != n:
            return False
    # 到此能找到384个
    # 检查4个角的4个数的和也要符合要求，不影响结果
    if np.sum(arr[:2, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[:2, -2:]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, :2]) != n:
        return False
    if np.sum(arr[-2:, -2:]) != n:
        return False
    # 在检查最中间的4个格子的和，不影响结果
    if np.sum(arr[1:3, 1:3]) != n:
        return False
    return True

48个完美解

所有符合要求的数组一共384个，这里只输出(0, 0)和(1, 1)的位置上是1的48个数组：

def main():
    count = 0
    for square in square_list(4):
        # 有可能返回空，因为不是每一种组合都一定能得到竖排和相等的矩阵
        squares2 = square_list2(square)
        if squares2:
            for square2 in squares2:
                for square3 in square_list3(square2):
                    a = np.array(square3)
                    if is_lo_shu_square4(a):
                        if a[0][0] == 1 or a[1][1] == 1:
                            count += 1
                            print(a)
    print(count)

下面贴上所有的48个数组，其他的数组只是这个基础上的转置和双奇双偶变换（把数组横向或纵向位移2个单位）的结果：

[[ 1 14  4 15]
 [ 8 11  5 10]
 [13  2 16  3]
 [12  7  9  6]]
[[ 1 14  4 15]
 [12  7  9  6]
 [13  2 16  3]
 [ 8 11  5 10]]
[[ 1 15  4 14]
 [ 8 10  5 11]
 [13  3 16  2]
 [12  6  9  7]]
[[ 1 15  4 14]
 [12  6  9  7]
 [13  3 16  2]
 [ 8 10  5 11]]
[[11  8 10  5]
 [14  1 15  4]
 [ 7 12  6  9]
 [ 2 13  3 16]]
[[ 7 12  6  9]
 [14  1 15  4]
 [11  8 10  5]
 [ 2 13  3 16]]
[[10  8 11  5]
 [15  1 14  4]
 [ 6 12  7  9]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 6 12  7  9]
 [15  1 14  4]
 [10  8 11  5]
 [ 3 13  2 16]]
[[ 1 12  6 15]
 [ 8 13  3 10]
 [11  2 16  5]
 [14  7  9  4]]
[[ 1 12  6 15]
 [14  7  9  4]
 [11  2 16  5]
 [ 8 13  3 10]]
[[ 1 15  6 12]
 [ 8 10  3 13]
 [11  5 16  2]
 [14  4  9  7]]
[[ 1 15  6 12]
 [14  4  9  7]
 [11  5 16  2]
 [ 8 10  3 13]]
[[13  8 10  3]
 [12  1 15  6]
 [ 7 14  4  9]
 [ 2 11  5 16]]
[[ 7 14  4  9]
 [12  1 15  6]
 [13  8 10  3]
 [ 2 11  5 16]]
[[10  8 13  3]
 [15  1 12  6]
 [ 4 14  7  9]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 4 14  7  9]
 [15  1 12  6]
 [10  8 13  3]
 [ 5 11  2 16]]
[[ 1 12  7 14]
 [ 8 13  2 11]
 [10  3 16  5]
 [15  6  9  4]]
[[ 1 12  7 14]
 [15  6  9  4]
 [10  3 16  5]
 [ 8 13  2 11]]
[[ 1 14  7 12]
 [ 8 11  2 13]
 [10  5 16  3]
 [15  4  9  6]]
[[ 1 14  7 12]
 [15  4  9  6]
 [10  5 16  3]
 [ 8 11  2 13]]
[[13  8 11  2]
 [12  1 14  7]
 [ 6 15  4  9]
 [ 3 10  5 16]]
[[ 6 15  4  9]
 [12  1 14  7]
 [13  8 11  2]
 [ 3 10  5 16]]
[[11  8 13  2]
 [14  1 12  7]
 [ 4 15  6  9]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 4 15  6  9]
 [14  1 12  7]
 [11  8 13  2]
 [ 5 10  3 16]]
[[ 1  8 10 15]
 [12 13  3  6]
 [ 7  2 16  9]
 [14 11  5  4]]
[[ 1  8 10 15]
 [14 11  5  4]
 [ 7  2 16  9]
 [12 13  3  6]]
[[ 1 15 10  8]
 [12  6  3 13]
 [ 7  9 16  2]
 [14  4  5 11]]
[[ 1 15 10  8]
 [14  4  5 11]
 [ 7  9 16  2]
 [12  6  3 13]]
[[13 12  6  3]
 [ 8  1 15 10]
 [11 14  4  5]
 [ 2  7  9 16]]
[[11 14  4  5]
 [ 8  1 15 10]
 [13 12  6  3]
 [ 2  7  9 16]]
[[ 6 12 13  3]
 [15  1  8 10]
 [ 4 14 11  5]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 4 14 11  5]
 [15  1  8 10]
 [ 6 12 13  3]
 [ 9  7  2 16]]
[[ 1  8 11 14]
 [12 13  2  7]
 [ 6  3 16  9]
 [15 10  5  4]]
[[ 1  8 11 14]
 [15 10  5  4]
 [ 6  3 16  9]
 [12 13  2  7]]
[[ 1 14 11  8]
 [12  7  2 13]
 [ 6  9 16  3]
 [15  4  5 10]]
[[ 1 14 11  8]
 [15  4  5 10]
 [ 6  9 16  3]
 [12  7  2 13]]
[[13 12  7  2]
 [ 8  1 14 11]
 [10 15  4  5]
 [ 3  6  9 16]]
[[10 15  4  5]
 [ 8  1 14 11]
 [13 12  7  2]
 [ 3  6  9 16]]
[[ 7 12 13  2]
 [14  1  8 11]
 [ 4 15 10  5]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 4 15 10  5]
 [14  1  8 11]
 [ 7 12 13  2]
 [ 9  6  3 16]]
[[ 1  8 13 12]
 [14 11  2  7]
 [ 4  5 16  9]
 [15 10  3  6]]
[[ 1  8 13 12]
 [15 10  3  6]
 [ 4  5 16  9]
 [14 11  2  7]]
[[ 1 12 13  8]
 [14  7  2 11]
 [ 4  9 16  5]
 [15  6  3 10]]
[[ 1 12 13  8]
 [15  6  3 10]
 [ 4  9 16  5]
 [14  7  2 11]]
[[11 14  7  2]
 [ 8  1 12 13]
 [10 15  6  3]
 [ 5  4  9 16]]
[[10 15  6  3]
 [ 8  1 12 13]
 [11 14  7  2]
 [ 5  4  9 16]]
[[ 7 14 11  2]
 [12  1  8 13]
 [ 6 15 10  3]
 [ 9  4  5 16]]
[[ 6 15 10  3]
 [12  1  8 13]
 [ 7 14 11  2]
 [ 9  4  5 16]]

16宫格的完美解：
将16个自然数1至16填入16宫格中，是4横、4竖、8斜的4数之和相等，且等于组成14个正方形的4个顶点的数之和（这个没验证）。共48个解。
完美解的16宫格模型如下：
九宫格问题、16宫格

当年奥数教的16宫格还不是这里的完美解：
九宫格问题、16宫格

小结

用到了很多零碎的知识：

  • 排列、组合
  • 递归（比较搞脑筋）
  • 取模、取余（用着不难，关键是要想到用这个方法来遍历所有下标的情况来解决问题）
  • 列表的反转（这个算是小技巧）
  • 次对角线全1的矩阵（做一次反转即可）
  • 二维数组转90度（还是列表反转的技巧，反转加转置后就是，这里没用到）
  • 线性代数（只是简单的用乘法算一下对角线上的数字之和）
  • 16宫格的48个完美解（当年老师奥数只教了1种）

分享标题：九宫格问题、16宫格
本文路径：http://cdkjz.cn/article/jcjshg.html
返回首页 了解更多建站资讯

相关资讯

多年建站经验

多一份参考，总有益处

联系快上网，免费获得专属《策划方案》及报价

咨询相关问题或预约面谈，可以通过以下方式与我们联系

大客户专线   成都：13518219792   座机：028-86922220

在线咨询 提交需求
友情链接 交换友情链接
四川雕琢时光微信小程序开发广汉锦华橡塑重庆服务器托管成都定制网站建设成都谷歌SEO高端网站建设王君美油画云服务器广安网站设计

成都网站建设公司地址：成都市青羊区太升南路288号锦天国际A座10层 建设咨询028-86922220

成都快上网科技有限公司-四川网站建设设计公司 | 蜀ICP备19037934号 Copyright 2020,ALL Rights Reserved cdkjz.cn | 成都网站建设 | © Copyright 2020版权所有.

专家团队为您提供成都网站建设,成都网站设计,成都品牌网站设计,成都营销型网站制作等服务,成都建网站就找快上网！ | 成都网站建设哪家好？ | 网站建设地图