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如何在Python中实现这五类强大的概率分布

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2015/04/25 · 实践项目 · 概率分布

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本文由 伯乐在线 - feigao.me 翻译，Daetalus 校稿。未经许可，禁止转载！

英文出处：。欢迎加入翻译组。

R编程语言已经成为统计分析中的事实标准。但在这篇文章中，我将告诉你在Python中实现统计学概念会是如此容易。我要使用Python实现一些离散和连续的概率分布。虽然我不会讨论这些分布的数学细节，但我会以链接的方式给你一些学习这些统计学概念的好资料。在讨论这些概率分布之前，我想简单说说什么是随机变量（random variable）。随机变量是对一次试验结果的量化。

举个例子，一个表示抛硬币结果的随机变量可以表示成Python

X = {1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上}

12X = {1 如果正面朝上,

2 如果反面朝上}

随机变量是一个变量，它取值于一组可能的值（离散或连续的），并服从某种随机性。随机变量的每个可能取值的都与一个概率相关联。随机变量的所有可能取值和与之相关联的概率就被称为概率分布（probability distributrion）。

我鼓励大家仔细研究一下scipy.stats模块。

概率分布有两种类型：离散（discrete）概率分布和连续（continuous）概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数（probability mass function）。离散概率分布的例子有伯努利分布（Bernoulli distribution）、二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）和几何分布（geometric distribution）等。

连续概率分布也称为概率密度函数（probability density function），它们是具有连续取值（例如一条实线上的值）的函数。正态分布（normal distribution）、指数分布（exponential distribution）和β分布（beta distribution）等都属于连续概率分布。

若想了解更多关于离散和连续随机变量的知识，你可以观看可汗学院关于概率分布的视频。

二项分布（Binomial Distribution）

服从二项分布的随机变量X表示在n个独立的是/非试验中成功的次数，其中每次试验的成功概率为p。

E(X) = np, Var(X) = np(1?p)

如果你想知道每个函数的原理，你可以在IPython笔记本中使用help file命令。 E(X)表示分布的期望或平均值。

键入stats.binom?了解二项分布函数binom的更多信息。

二项分布的例子：抛掷10次硬币，恰好两次正面朝上的概率是多少？

假设在该试验中正面朝上的概率为0.3，这意味着平均来说，我们可以期待有3次是硬币正面朝上的。我定义掷硬币的所有可能结果为k = np.arange(0,11)：你可能观测到0次正面朝上、1次正面朝上，一直到10次正面朝上。我使用stats.binom.pmf计算每次观测的概率质量函数。它返回一个含有11个元素的列表（list），这些元素表示与每个观测相关联的概率值。

您可以使用.rvs函数模拟一个二项随机变量，其中参数size指定你要进行模拟的次数。我让Python返回10000个参数为n和p的二项式随机变量。我将输出这些随机变量的平均值和标准差，然后画出所有的随机变量的直方图。

泊松分布（Poisson Distribution）

一个服从泊松分布的随机变量X，表示在具有比率参数（rate parameter）λ的一段固定时间间隔内，事件发生的次数。参数λ告诉你该事件发生的比率。随机变量X的平均值和方差都是λ。

E(X) = λ, Var(X) = λ

泊松分布的例子：已知某路口发生事故的比率是每天2次，那么在此处一天内发生4次事故的概率是多少？

让我们考虑这个平均每天发生2起事故的例子。泊松分布的实现和二项分布有些类似，在泊松分布中我们需要指定比率参数。泊松分布的输出是一个数列，包含了发生0次、1次、2次，直到10次事故的概率。我用结果生成了以下图片。

你可以看到，事故次数的峰值在均值附近。平均来说，你可以预计事件发生的次数为λ。尝试不同的λ和n的值，然后看看分布的形状是怎么变化的。

现在我来模拟1000个服从泊松分布的随机变量。

正态分布（Normal Distribution）

正态分布是一种连续分布，其函数可以在实线上的任何地方取值。正态分布由两个参数描述：分布的平均值μ和方差σ2 。

E(X) = μ, Var(X) = σ2

正态分布的取值可以从负无穷到正无穷。你可以注意到，我用stats.norm.pdf得到正态分布的概率密度函数。

β分布（Beta Distribution）

β分布是一个取值在 [0, 1] 之间的连续分布，它由两个形态参数α和β的取值所刻画。

β分布的形状取决于α和β的值。贝叶斯分析中大量使用了β分布。

当你将参数α和β都设置为1时，该分布又被称为均匀分布（uniform distribution）。尝试不同的α和β取值，看看分布的形状是如何变化的。

指数分布（Exponential Distribution）

指数分布是一种连续概率分布，用于表示独立随机事件发生的时间间隔。比如旅客进入机场的时间间隔、打进客服中心电话的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

我将参数λ设置为0.5，并将x的取值范围设置为 $[0, 15]$ 。

接着，我在指数分布下模拟1000个随机变量。scale参数表示λ的倒数。函数np.std中，参数ddof等于标准偏差除以 $n-1$ 的值。

结语（Conclusion）

概率分布就像盖房子的蓝图，而随机变量是对试验事件的总结。我建议你去看看哈佛大学数据科学课程的讲座，Joe Blitzstein教授给了一份摘要，包含了你所需要了解的关于统计模型和分布的全部。

深入理解Python reduce函数

例如上面的例子，实现一个整形集合的累加。假设lst = [1,2,3,4,5],实现累加的方式有很多：

第一种：用sum函数。

sum(lst)

第二种：循环方式。

def customer_sum(lst):

result = 0

for x in lst:

result+=x

return result

def customer_sum(lst):

result = 0

while lst:

temp = lst.pop(0)

result+=temp

return result

if name ==" main ":

lst = [1,2,3,4,5]

print customer_sum(lst)

第三种：递推求和

def add(lst,result):

if lst:

temp = lst.pop(0)

temp+=result

return add(lst,temp)

else:

return result

if name ==" main ":

lst = [1,2,3,4,5]

print add(lst,0)

第四种：reduce方式

lst = [1,2,3,4,5]

print reduce(lambda x,y:x+y,lst)

lst = [1,2,3,4,5]

print reduce(lambda x,y:x+y,lst,0)

def add(x,y):

return x+y

print reduce(add, lst)

def add(x,y):

return x+y

print reduce(add, lst,0)

有一个序列集合，例如[1,1,2,3,2,3,3,5,6,7,7,6,5,5,5],统计这个集合所有键的重复个数，例如1出现了两次，2出现了两次等。大致的思路就是用字典存储，元素就是字典的key,出现的次数就是字典的value。方法依然很多

第一种：for循环判断

def statistics(lst):

dic = {}

for k in lst:

if not k in dic:

dic[k] = 1

else:

dic[k] +=1

return dic

lst = [1,1,2,3,2,3,3,5,6,7,7,6,5,5,5]

print(statistics(lst))

第二种：比较取巧的，先把列表用set方式去重，然后用列表的count方法

def statistics2(lst):

m = set(lst)

dic = {}

for x in m:

dic[x] = lst.count(x)

lst = [1,1,2,3,2,3,3,5,6,7,7,6,5,5,5]

print statistics2(lst)

第三种：用reduce方式

def statistics(dic,k):

if not k in dic:

dic[k] = 1

else:

dic[k] +=1

return dic

lst = [1,1,2,3,2,3,3,5,6,7,7,6,5,5,5]

print reduce(statistics,lst,{})

或者

d = {}

d.extend(lst)

print reduce(statistics,d)

通过上面的例子发现,凡是要对一个集合进行操作的，并且要有一个统计结果的，能够用循环或者递归方式解决的问题，一般情况下都可以用reduce方式实现。

python中round函数的用法

round函数python：

这个函数相当于调去里面的一个函数，有一个数组，从中里面调取一个数据。简单的说，round是使用四舍五入对小数进行位数控制的函数，round（a，b），a参数是小数，b是小数点后保留的位数。实际使用需要考虑的python2和python3版本的差异与小数精度的问题。

ound函数的使用用法

根据Excel的帮助得知，round函数就是返回一个数值，该数值是按照指定的小数位数进行四舍五入运算的结果。

round函数的语法是：ROUND(number,num_digits)，即：Round（数值，保留的小数位数)

Number：需要进行四舍五入的数字。

Num_digits：指定的位数，按此位数进行四舍五入。

其中，如果num_digits大于0，则四舍五入到指定的小数位。

如果num_digits等于0，则四舍五入到最接近的整数。

如果num_digits小于0，则在小数点左侧进行四舍五入。