文章目录
- 1. AVL树的概念
- 2. AVL树的结点
- 3. AVL树的插入
- 4. AVL树的旋转
- 🍑 左单旋
- 🍑 右单旋
- 🍑 左右双旋
- 🍑 右左双旋
- 🍑 总结
- 6. AVL树的删除
- 7. AVL树的遍历
- 8. AVL树的查找
- 9. AVL树的高度
- 10. AVL树的验证
- 11. AVL树优缺点分析
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1. AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
平衡二叉树（Balanced Binary Tree 或 Height-Balanced Tree）又称为 AVL 树，其实就是一颗 平衡的二叉排序树 ，解决了二叉查找树的不平衡问题，即斜树。
AVL树或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉搜索树：
- 它的左子树和右子树都是平衡二叉树
- 左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（即：-1，0，1）
举个例子，下图就是一颗典型的 AVL 树，每个节点旁边都标注了平衡因子：
上面是一颗典型的平衡二叉树，首先它是一颗二叉排序树，其次每一个结点的平衡因子都是 -1，0，1 三个数当中的一个。
红色的数字为结点的平衡因子，对于任意一个叶子结点而言，其左右孩子都为空，左子树的深度为 0 ，右子树的深度为 0 ，所以 AVL树当中的叶子结点的平衡因子都是 0 ；
其他结点的平衡因子同样通过 右子树深度减去左子树深度 可以求得，比如结点 3 的 左子树深度为 2，右子树深度为1 ，则平衡因子为
1
−
2
=
−
1
1 - 2 = -1
1−2=−1。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在
O
(
l
o
g
n
)
O(logn)
O(logn)，搜索时间复杂度
O
(
l
o
g
n
O(log n
O(logn)。
再来看看不平衡的情况，如下面这颗树：
上图中就是不平衡的二叉排序树，非 AVL树 。结点 5 的平衡因子为 -2，该平衡因子是结点 5 右子树深度 2 减去左子树深度 4 所得；
我们要学习的就是将这种不平衡的二叉搜索树转化为 AVL树。
2. AVL树的结点
我们直接按照 KV 模型来构造 AVL 树，需要把结点定义为 三叉链结构，并在每个结点当中引入平衡因子（右子树高度-左子树高度）。
对于结点的构造函数，由于新构造结点的左右子树均为空树，所以只需要将新构造结点的平衡因子初始设置为 0 即可。
代码示例
templatestruct AVLTreeNode
{// 存储的键值对
pair_kv;
// 三叉链
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
// 平衡因子(balance factor)
int _bf; // 右子树高度 - 左子树高度
// 构造函数
AVLTreeNode(const pair& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
3. AVL树的插入
对平衡二叉树的插入操作而言，其本质上比二叉搜索树的插入操作多了一个平衡操作，解决了二叉搜索树插入操作可能出现的斜树，不平衡问题。
那么 AVL 树的插入过程可以分为两步：
- 按照二叉搜索树的方式，找到待插入的位置，然后将新结点插入到该位置。
- 调整节点的平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。
🍑 更新平衡因子
当 AVL 树插入一个新结点以后，需要更新插入结点的祖先的平衡因子，因为新结点（也就是叶子结点）的平衡因子为 0，但是它影响的是它的父亲，它父亲的父亲…，所以要更新到祖先结点。
所以我们要从新增结点开始，往上沿着祖先路径更新，那么更新的规则如下：
- 如果新增结点插入在 parent 的右边，只需要给 parent 的平衡因子
+1即可 - 如果新增结点插入在 parent 的左边，只需要给 parent 的平衡因子
-1即可
为什么呢？因为平衡因子的计算方法是：右子树高度 - 左子树高度，如果插入在右边，那么最后的结果肯定是要++，反之，则--。
当 parent 的平衡因子更新完以后，可能出现三种情况：0，正负 1，正负 2。
（1）parent 的平衡因子为 0
如果 parent 的平衡因子为 0，说明插入之前 parent 的平衡因子为正负 1，插入后被调整成 0，此时满足 AVL 树的性质，则插入成功。
如下图所示，插入后使得 parent 左右子树的高度相等了，此操作并没有改变以 parent 为根结点的子树的高度，从而不会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此无需继续往上更新平衡因子。
（2）如果 parent 的平衡因子为正负 1
如果 parent 的平衡因子为正负 1，说明插入前 parent 的平衡因子一定为 0，插入后被更新成正负 1。
如下图所示，当新增一个结点以后，parent 的平衡因子从 0 变成了 1，说明新结点的插入使得 parent 的右子树增高了，即改变了以 parent 为根结点的子树的高度，从而会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此需要继续往上更新平衡因子。
如下图所示，当新增一个结点以后，parent 的平衡因子从 0 变成了 -1，说明新结点的插入使得 parent 的左子树增高了，即改变了以 parent 为根结点的子树的高度，从而会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此需要继续往上更新平衡因子。
进而引出了下面的第 3 种情况。
（3）如果 parent 的平衡因子为正负 2
如果 parent 的平衡因子为 -2，此时 parent 结点的左右子树高度之差的绝对值已经超过 1 了，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，那么就停止更新，需要对其进行旋转处。
如果 parent 的平衡因子为 2，此时 parent 结点的左右子树高度之差的绝对值已经超过 1 了，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，那么就停止更新，需要对其进行旋转处。
可以看到，当 parent 的平衡因子为正负 2 时，cur 的平衡因子必定是正负 1 而不会是 0。
🍑 插入函数的实现
上面我们分析了，如果在更新平衡因子的过程当中，出现了平衡因子为正负 2 的结点，此时需要对 以该结点为根结点的树 进行旋转处理（待会儿再讲旋转）。
我们定义一个cur用来表示 新增结点，定义一个parent用来表示 新增结点的父亲结点。
那么我们更新平衡因子时，第一个要更新的就是 parent 结点的平衡因子，更新完 parent 结点的平衡因子后，若是需要继续往上进行平衡因子的更新，那么要执行以下操作：
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{cur = cur->_parent; // cur指向了它的父亲
parent = parent->_parent; // 它的父亲指向了它的祖先
}
可以看到，我们之所以将 AVL 树结点的结构设置为三叉链结构，是因为我们可以很方便的通过父指针找到其父结点，进而对其平衡因子进行更新。
而当 parent 的平衡因子为正负 2 时，我们需要对其进行旋转操作，当旋转完成以后，就无需继续往上更新平衡因子了，即树的高度没有发生变化，也就不会影响其父结点的平衡因子了。
if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{// 旋转的四种处理方式
// 1.左单旋
// 2.右单旋
// 3.左右双旋
// 4.右左双旋
// 当旋转完成以后，直接跳出
break;
}
代码示例
public:
// 插入函数
bool Insert(const pair& kv)
{// 如果AVL树是空树，把插入节点直接作为根节点
if (_root == nullptr)
{ _root = new Node(kv);
_root->_bf = 0;
return true;
}
// 1.按照二叉搜索树的规则插入
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{ if (cur->_kv.first< kv.first) // 待插入节点的key值大于当前节点的key值
{ // 往右子树走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first >kv.first) // 待插入节点的key值小于当前节点的key值
{ // 往左子树走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else // 待插入节点的key值等于当前节点的key值
{ return false; // 插入失败，返回false
}
}
// 2.当循环结束，说明cur找到了空的位置，那么就插入
cur = new Node(kv); // 构造一个新节点
if (parent->_kv.first< kv.first) // 如果新节点的key值大于当前parent节点的key值
{ // 就把新节点链接到parent的右边
parent->_right = cur;
}
else // 如果新节点的key值小于当前parent节点的key值
{ // 就把新节点链接到parent的左边
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent; // 别忘了把新节点里面的_parent指向parent(因为我们定义的是一个三叉链)
// 3.更新平衡因子,如果出现不平衡,则需要进行旋转
while (parent) // 最远要更新到根节点去
{ if (cur == parent->_right) // 如果cur插在parent的右边，说明parent的右子树增高
{ parent->_bf++; // 那么parent的平衡因子要++
}
else // 如果cur插在parent的左边，说明parent的左子树增高
{ parent->_bf--; // 那么parent的平衡因子要--
}
// 判断是否更新结束，或者是否需要进行旋转
if (parent->_bf == 0) // 如果parent的bf等于0，说明左右子树高度一致，就更新结束(原因是新插入的节点把parent左右子树中矮的那一边给填补了）
{ // 高度不变,更新结束
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) // 继续往上更新平衡因子(插入节点导致某一边变高了，说明parent所在的子树高度改变了)
{ // 子树的高度变了，就要继续往上更新祖先
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 说明插入节点导致本来高的一边又变高了，子树不平衡了，那么此时需要做旋转处理
{ // 旋转的四种处理方式
// 1.左单旋
// 2.右单旋
// 3.左右双旋
// 4.右左双旋
// 旋转完成，跳出
break;
}
else
{ // 如果程序走到了这里，说明在插入节点之前AVL树就存在不平衡的子树，也就是存在平衡因子 >= 2的节点
// 所以这里加一个断言进行处理
assert(false);
}
}
// 插入成功，返回true
return true;
}
4. AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。
根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：
- 左单旋（LL）
- 右单旋（RR）
- 左右双旋（LR）
- 右左双旋（RL）
其实我们只要搞懂 LL 和 RR 就好了，因为 LR 和 RL 都是由它们演变而来的。
不管是什么旋转，都必须满足两点原则：
🍑 左单旋
下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h表示 a，b，c 三颗子树的高度。
- 结点 30 的右子树深度为 h + 2，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 1。
- 结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。
现在我们在 c 子树的中插入一个新结点，那么此时 c 子树的高度就变成了 h + 1，同时结点 60 的平衡因子为 1，结点 30 的平衡因子为 2，此时右边的高度大于左边的高度，需要进行左单旋。
左单旋的步骤如下：
- 先让 subR 的左子树（subRL）作为 parent 的右子树。
- 然后让 parent 作为 subR 的左子树。
- 接下来让 subR 作为整个子树的根。
- 最后更新平衡因子。
左单旋图如下所示：
经过旋转以后，它们的平衡因子就发生了变化：
- 结点 30 的右子树深度为 h，左子树深度为 h，所以平衡因子为 0。
- 结点 60 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 0。
这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：
- subR 的左子树（subRL）当中结点的值本身就比 parent 的值大，因此可以作为 parent 的右子树。
- 而 parent 及其左子树当中结点的值本身就比 subR 的值小，因此可以作为 subR 的左子树。
什么时候需要用到左旋操作呢？可以看到，当 parent 的平衡因子为 2，cur 的平衡因子为 1 时，需要进行左单旋。并且经过左单旋后，树的高度没有发生变化，所以左单旋后无需继续往上更新平衡因子。
左单旋动图演示：
可以看到，我们在 32 的右边插入一个值为 35 的新节点，那么此时 32 的平衡因子从 0 变成了 1，29 的平衡因子从 1 变成了 2，出现了右边高，左边低的局面，所以需要进行左单旋
代码示例
private:
// 左单旋（右边高需要左单旋）
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
Node* ppNode = parent->_parent; // 先保存parent的parent
// 1.建立parent和subRL之间的关系
parent->_right = subRL;
if (subRL) // 如果subRL节点不为空，那么要更新它的parent
{ subRL->_parent = parent;
}
// 2.建立subR和parent之间的关系
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
// 3.建立ppNode和subR之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
if (parent == _root) // 当parent是根节点时
{ _root = subR; // subR就变成了新的根节点
_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
}
else // 当parent是整个树的局部子树时
{ if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
{ ppNode->_left = subR; // 那么subR就是parent的左子树
}
else // 如果parent在ppNode的右边
{ ppNode->_right = subR; // 那么subR就是parent的右子树
}
subR->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
}
// 更新平衡因子
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
还有一点需要注意，如果在旋转前 parent（30） 就是树的根，那么此时只需要更新根结点为 subR（60）即可。
如果 parent（30） 只是整颗树局部的一颗子树，那么此时就需要看 30 是它父亲的左子树还是右子树，然后再和 subR 链接起来，如下图所示：
🍑 右单旋
下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h表示 a，b，c 三颗子树的高度。
- 结点 30 的右子树深度为 h，左子树深度为 h，所以平衡因子为 0。
- 结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 -1。
现在我们在 a 子树的中插入一个新结点，那么此时 a 子树的高度就变成了 h + 1，同时结点 60 的平衡因子为 -2，结点 30 的平衡因子为 -1，此时左边的高度大于右边的高度，需要进行右单旋。
右单旋的步骤如下：
- 先让 subL 的右子树（subLR）作为 parent 的左子树。
- 然后让 parent 作为 subL 的右子树。
- 接下来让 subL 作为整个子树的根。
- 最后更新平衡因子。
右单旋图如下所示：
经过旋转以后，它们的平衡因子就发生了变化：
- 结点 30 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 0。
- 结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。
这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：
- subL 的右子树当中结点的值本身就比 parent 的值小，因此可以作为 parent 的左子树。
- 而 parent 及其右子树当中结点的值本身就比 subL 的值大，因此可以作为 subL 的右子树。
什么时候需要用到右旋操作呢？可以看到，当 parent 的平衡因子为 -2，cur 的平衡因子为 -1 时，需要进行右单旋。并且经过右单旋后，树的高度没有发生变化，所以右单旋后无需继续往上更新平衡因子。
右单旋动图演示：
可以看到，我们在 9 的左边插入一个值为 5 的新节点，那么此时 9 的平衡因子从 0 变成了 -1，11 的平衡因子从 -1 变成了 -2，出现了左边高，右边低的局面，所以需要进行右单旋
代码示例
private:
// 右单旋（左边高就右单旋）
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* ppNode = parent->_parent;
// 1.建立parent和subLR之间的关系
parent->_left = subLR;
if (subLR) // 如果subLR节点不为空，那么要更新它的parent
{ subLR->_parent = parent;
}
// 2.建立subL和parent之间的关系
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
// 3.建立ppNode和subL之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
if (parent == _root) // 当parent是根节点时
{ _root = subL; // subL就变成了新的根节点
_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
}
else // 当parent是整个树的局部子树时
{ if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
{ ppNode->_left = subL; // 那么subL就是parent的左子树
}
else // 如果parent在ppNode的右边
{ ppNode->_right = subL; // 那么subL就是parent的右子树
}
subL->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
}
// 更新平衡因子
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
需要注意，如果在旋转前 parent（60） 就是树的根，那么此时只需要更新根结点为 subL（30）即可。
如果 parent（60） 只是整颗树局部的一颗子树，那么此时就需要看 60 是它父亲的左子树还是右子树，然后再和 subL 链接起来。
🍑 左右双旋
下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h表示 a 和 d 两颗子树的高度，h-1代表 b 和 c 两颗子树的高度。
- 结点 90 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 -1。
- 结点 30 的右子树深度为 h - 1 + 1 + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。
- 结点 60 的右子树深度为 h - 1，左子树深度为 h - 1，所以平衡因子为 0。
现在我们在 b 子树的中插入一个新结点，那么此时 b 子树的高度就变成了 h，同时结点 60 的平衡因子变成了 -1，结点 30 的平衡因子变成了 1，结点 90 的平衡因子变成了 -2，此时如果单纯的以结点 90 为旋转点进行左单旋或者右单旋以后，那么仍然不是 AVL 树，所以需要采取左右双旋的方式。
注意：在 b 子树当中新增结点，或是在 c 子树当中新增结点，均会引发左右双旋，这里以在 b 子树当中新增结点为例。
左右双旋的步骤如下：
- 先以 subL 为旋转点进行左单旋。
- 然后以 parent 为旋转点进行右单旋。
- 最后再更新平衡因子。
（1）以 30 为旋转点进行左单旋
（2）以 90 为旋转点进行右单旋
左右双旋后，实际上就是让 subLR 的左子树和右子树，分别作为 subL 和 parent 的右子树和左子树，再让 subL 和 parent 分别作为 subLR 的左右子树，最后让 subLR 作为整个子树的根
这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：
- subLR 的左子树当中的结点本身就比 subL 的值大，因此可以作为 subL 的右子树。
- subLR 的右子树当中的结点本身就比 parent 的值小，因此可以作为 parent 的左子树。
- 经过步骤1 和 2 以后，subL 及其子树当中结点的值都就比 subLR 的值小，而 parent 及其子树当中结点的值都就比 subLR 的值大，因此它们可以分别作为 subLR 的左右子树。
左右双旋后，平衡因子的更新随着 subLR 原始平衡因子的不同分为以下三种情况：
（1）当 subLR 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 1、0、0
（2）当 subLR 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 0、-1、0
（3）当 subLR 原始平衡因子是 0 时（说明 subLR 为新增结点），左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为0、0、0
可以看到，经过左右双旋后，树的高度没有发生变化，所以左右双旋后无需继续往上更新平衡因子。
代码示例
private:
// 左右双旋（先左单旋，再右单旋）
void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 1.先以subL为旋转点进行左单旋
RotateL(parent->_left);
// 2.再以parent为旋转点进行右单旋
RotateR(parent);
// 3.更新平衡因子
if (bf == 0)
{ parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{ parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{ parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{ // 如果走到了这里，说明subLR的平衡因子在旋转前就有问题
assert(false);
}
}
🍑 右左双旋
下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h表示 a 和 d 两颗子树的高度，h-1代表 b 和 c 两颗子树的高度。
- 结点 30 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 1。
- 结点 90 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h - 1 + 1 + 1，所以平衡因子为 0。
- 结点 60 的右子树深度为 h - 1，左子树深度为 h - 1，所以平衡因子为 0。
现在我们在 c 子树的中插入一个新结点，那么此时 c 子树的高度就变成了 h，同时结点 60 的平衡因子变成了 1，结点 00 的平衡因子变成了 -1，结点 30 的平衡因子变成了 -2，此时如果单纯的以结点 30 为旋转点进行左单旋或者右单旋以后，那么仍然不是 AVL 树，所以需要采取右左双旋的方式。
注意：在 b 子树当中新增结点，或是在 c 子树当中新增结点，均会引发右左双旋，这里以在 c 子树当中新增结点为例。
右左双旋的步骤如下：
- 先以 subR 为旋转点进行右单旋。
- 然后以 parent 为旋转点进行左单旋。
- 最后再更新平衡因子。
（1）以 90 为旋转点进行右单旋
（2）以 30 为旋转点进行左单旋
右左双旋后，实际上就是让 subRL 的左子树和右子树，分别作为 parent 和 subR 的右子树和左子树，再让 parent 和 subR 分别作为 subRL 的左右子树，最后让 subRL 作为整个子树的根。
这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：
- subRL 的左子树当中的结点本身就比 parent 的值大，因此可以作为 parent 的右子树。
- subRL 的右子树当中的结点本身就比 subR 的值小，因此可以作为 subR 的左子树。
- 经过步骤 1 和 2 以后，parent 及其子树当中结点的值都就比 subRL 的值小，而 subR 及其子树当中结点的值都就比 subRL 的值大，因此它们可以分别作为 subRL 的左右子树。
右左双旋后，平衡因子的更新随着 subLR 原始平衡因子的不同分为以下三种情况：
（1）当 subRL 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 -1、0、0
（2）当 subRL 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 0、1、0
（3）当 subRL 原始平衡因子是 0 时（说明 subRL为新增结点），左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为0、0、0
可以看到，经过右左双旋后，树的高度没有发生变化，所以右左双旋后无需继续往上更新平衡因子。
代码示例
private:
// 右左双旋（先右单旋，再左单旋）
void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
// 1.先以subR为旋转点进行右单旋
RotateR(parent->_right);
// 2.再以parent为旋转点进行左单旋
RotateL(parent);
// 3.更新平衡因子
if (bf == 0)
{ subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{ subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{ subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else
{ // 如果走到了这里，说明subRL的平衡因子在旋转前就有问题
assert(false);
}
}
🍑 总结
假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为 2 或者 -2，分以下情况考虑
- parent 的平衡因子为 2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR
- 当 subR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋
- 当 subR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋
- parent 的平衡因子为 -2，说明 parent 的左子树高，设 parent 的左子树的根为 subL
- 当 subL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋
- 当 subL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋
旋转完成后，原 parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
6. AVL树的删除
平衡二叉树的删除操作与插入操作类似，先执行标准的 BST 删除操作（可以参考文章： 什么是二叉查找树），然后进行相应的平衡操作。
主要是三个大思路：
- 按二叉搜索树的规则删除
- 更新平衡因子
- 出现不平衡，需要旋转调整
只不过与二叉搜索树的删除不同的是，删除节点后的平衡因子需要不断更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
下面简单讲解一下删除的算法思想吧。
🍑 算法思想
我们以删除一个结点w为例进行说明平衡二叉树删除操作的具体算法步骤：
- 对结点
w执行标准的二叉搜索树的删除操作； - 从结点
w开始，向上回溯，找到第一个不平衡的结点z（即平衡因子不是 -1，0 或 1 的结点），设y为结点z的高度最高的孩子结点；x是结点y的高度最高的孩子结点。 - 然后对以
z为根结点的子树进行平衡操作，其中x、y、z可以的位置有四种情况，BST 删除操作之后的平衡操作也就处理以下四种情况：y是z的左孩子，x是y的左孩子 （Left Left ，LL )；y是z的左孩子，x是y的右孩子 （Left Right ，LR )；y是z的右孩子，x是y的右孩子 （Right Right ，RR )；y是z的右孩子，x是y的左孩子 （Right Right ，RL )；
这里的四种情况与插入操作一样，但需要注意的是，插入操作仅需要对以z为根的子树进行平衡操作；而平衡二叉树的删除操作就不一样，先对以z为根的子树进行平衡操作，之后可能需要对z的祖先结点进行平衡操作，向上回溯直到根结点。
🍑 示例一
我们已删除下图中的结点 32 为例进行说明。
第一步：由于 32 结点为叶子结点，直接删除，并保存删除结点的父节点 17 。
第二步：从节点 17 向上回溯，找到第一个不平衡结点 44 ，并找到不平衡结点的左右孩子中深度最深的结点 78 （即 y ）；以及 y 的孩子结点当中深度最深的结点 50 （即 x ）。 发现为 RL 的情况。
第三步：对结点 78 进行右旋操作
第四步：对结点 44 进行左旋操作
🍑 示例二
我们以删除下图中的结点 80 为例进行说明。
第一步，由于结点 80 为叶子结点，则直接删除，并保存结点 80 的父结点 78 。
第二步：从结点 78 开始寻找第一个不平衡结点，发现就是结点 78 本身（即结点 z ），找到结点 78 深度最深的叶子结点 60 （即结点 y ），以及结点 y 的深度最深的叶结点 55 （即结点 x ）。即 LL 的情况。
第三步：右旋结点 78
第四步：从旋转后的返回的新的根结点 60 向上回溯（这里就和平衡二叉树的插入操作有别了奥，平衡二叉树的插入操作仅对第一个不平衡结点的子树进行平衡操作，而AVL的删除需要不断地回溯，直到根结点平衡为止 ），判断是否还有不平衡结点，发现整棵树的根结点 50 为第一个不平衡结点，找到对应的 y 结点 25 和 x 结点 10 。同样是 LL 的情况。
第五步：对 z 结点 50 进行右旋操作。
🍑 代码实现
关于左旋与右旋操作，以及平衡因子的计算与之前讲的文章（ 什么是二叉查找树）中的实现是一致的，我们直接看 AVL 树删除操作的实现代码：
代码示例
// 删除函数
bool Erase(const K& key)
{//用于遍历二叉树
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
//用于标记实际的删除结点及其父结点
Node* delParentPos = nullptr;
Node* delPos = nullptr;
while (cur)
{ if (key< cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值
{ //往该结点的左子树走
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (key >cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值
{ //往该结点的右子树走
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else //找到了待删除结点
{ if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空
{if (cur == _root) //待删除结点是根结点
{_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点
if (_root)
_root->_parent = nullptr;
delete cur; //删除原根结点
return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
}
else
{delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
delPos = cur; //标记实际删除的结点
}
break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
}
else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空
{if (cur == _root) //待删除结点是根结点
{_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点
if (_root)
_root->_parent = nullptr;
delete cur; //删除原根结点
return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
}
else
{delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
delPos = cur; //标记实际删除的结点
}
break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
}
else //待删除结点的左右子树均不为空
{//替换法删除
//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点
Node* minParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{minParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的key
cur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的value
delParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点
delPos = minRight; //标记实际删除的结点
break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
}
}
}
if (delParentPos == nullptr) //delParentPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点
{ return false;
}
//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）
Node* del = delPos;
Node* delP = delParentPos;
//更新平衡因子
while (delPos != _root) //最坏一路更新到根结点
{ if (delPos == delParentPos->_left) //delParentPos的左子树高度降低
{ delParentPos->_bf++; //delParentPos的平衡因子++
}
else if (delPos == delParentPos->_right) //delParentPos的右子树高度降低
{ delParentPos->_bf--; //delParentPos的平衡因子--
}
//判断是否更新结束或需要进行旋转
if (delParentPos->_bf == 0)//需要继续往上更新平衡因子
{ //delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
delPos = delParentPos;
delParentPos = delParentPos->_parent;
}
else if (delParentPos->_bf == -1 || delParentPos->_bf == 1) //更新结束
{ break; //delParent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子
}
else if (delParentPos->_bf == -2 || delParentPos->_bf == 2) //需要进行旋转（此时delParentPos树已经不平衡了）
{ if (delParentPos->_bf == -2)
{if (delParentPos->_left->_bf == -1)
{Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
RotateR(delParentPos); //右单旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
}
else if (delParentPos->_left->_bf == 1)
{Node* tmp = delParentPos->_left->_right; //记录delParentPos左右旋转后新的根结点
RotateLR(delParentPos); //左右双旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
}
else //delParentPos->_left->_bf == 0
{Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
RotateR(delParentPos); //右单旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
//平衡因子调整
delParentPos->_bf = 1;
delParentPos->_right->_bf = -1;
break; //更正
}
}
else //delParentPos->_bf == 2
{if (delParentPos->_right->_bf == -1)
{Node* tmp = delParentPos->_right->_left; //记录delParentPos右左旋转后新的根结点
RotateRL(delParentPos); //右左双旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
}
else if (delParentPos->_right->_bf == 1)
{Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
RotateL(delParentPos); //左单旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
}
else //delParentPos->_right->_bf == 0
{Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
RotateL(delParentPos); //左单旋
delParentPos = tmp; //更新根结点
//平衡因子调整
delParentPos->_bf = -1;
delParentPos->_left->_bf = 1;
break; //更正
}
}
//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
delPos = delParentPos;
delParentPos = delParentPos->_parent;
//break; //error
}
else
{ assert(false); //在删除前树的平衡因子就有问题
}
}
//进行实际删除
if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空
{ if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
{ delP->_left = del->_right;
if (del->_right)
del->_right->_parent = parent;
}
else //实际删除结点是其父结点的右孩子
{ delP->_right = del->_right;
if (del->_right)
del->_right->_parent = parent;
}
}
else //实际删除结点的右子树为空
{ if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
{ delP->_left = del->_left;
if (del->_left)
del->_left->_parent = parent;
}
else //实际删除结点是其父结点的右孩子
{ delP->_right = del->_left;
if (del->_left)
del->_left->_parent = parent;
}
}
delete del; //实际删除结点
return true;
}
7. AVL树的遍历
中序遍历和二叉树的中序实现一样，只不过因为中序是递归遍历，涉及到传参，所以需要写一个子函数。
代码示例
private:
// 中序遍历（子函数）
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout<< root->_kv.first<< " ";
_InOrder(root->_right);
}
public:
// 中序遍历
void InOrder()
{_InOrder(_root);
cout<< endl;
}
8. AVL树的查找
AVL树的查找与二叉搜索树一样：
- 若树为空树，则查找失败，返回 nullptr。
- 若树不为空树，则有以下三种情况：
- 若 key 值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
- 若 key 值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
- 若 key 值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。
代码示例
public:
// 查找函数
Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;
while (cur)
{ if (cur->_kv.first< key) // key值大于该结点的值
{ cur = cur->_left; // 在该结点的右子树当中查找
}
else if (cur->_kv.first< key) // key值小于该结点的值
{ cur = cur->_right; // 在该结点的左子树当中查找
}
else // 当前节点的值等于key值
{ return cur; //返回该结点
}
}
return nullptr; //查找失败
}
9. AVL树的高度
这里和求二叉树的深度是一样的方式，采用分治的思想：
代码示例
private:
// 求树的高度（子函数）
int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr) // 空树高度为0
return 0;
int lh = _Height(root->_left); // 递归计算左子树高度
int rh = _Height(root->_right); // 递归计算右子树高度
return lh >rh ? lh + 1 : rh + 1; // 左树高度或者右树高度大的哪一个，然后再+1，就是整棵树的高度
}
public:
// 树的高度
int Height()
{return _Height(_root);
}
10. AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为下面两步：
（1）验证其为二叉搜索树
- 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
（2）验证其为平衡树
检测二叉树是否平衡的代码
private:
// 判断是否为平衡二叉树（子函数）
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{ cout<< root->_kv.first<< "节点平衡因子异常"<< endl;
return false;
}
if (diff != root->_bf)
{ cout<< root->_kv.first<< "节点平衡因子不符合实际"<< endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left)
&& _IsBalanceTree(root->_right);
}
public:
// 判断是否为平衡二叉树
bool IsBalanceTree()
{return _IsBalanceTree(_root);
}
🍑 数据测试
（1）测试一组有序值
// 插入有序值
void TestAVLTree1()
{const int N = 20;
vectorv;
v.reserve(N);
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i< N; ++i)
{v.push_back(i);
}
AVLTreet;
for (auto e : v)
{t.Insert(make_pair(e, e));
}
if (t.IsBalanceTree())
{cout<< "AVL树平衡"<< endl;
}
else
{cout<< "AVL树不平衡"<< endl;
}
cout<< "AVL树高度："<< t.Height()<< endl;
cout<< "中序遍历：";
t.InOrder();
}
运行结果
（2）测试一组随机值
// 插入随机值
void TestAVLTree2()
{const size_t N = 20;
vectorv;
v.reserve(N);
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i< N; ++i)
{v.push_back(rand());
}
AVLTreet;
for (auto e : v)
{t.Insert(make_pair(e, e));
}
if (t.IsBalanceTree())
{cout<< "AVL树平衡"<< endl;
}
else
{cout<< "AVL树不平衡"<< endl;
}
cout<< "AVL树高度："<< t.Height()<< endl;
cout<< "中序遍历：";
t.InOrder();
}
运行结果
11. AVL树优缺点分析
优点：
- 平衡二叉树的优点不言而喻，相对于二叉排序树（BST）而言，平衡二叉树避免了二叉排序树可能出现的最极端情况（斜树）问题，其平均查找的时间复杂度为
O
(
l
o
g
N
)
O(logN)
O(logN)
缺点：
- 平衡二叉树为了保持平衡，动态进行插入和删除操作的代价也会增加。因此出现了后来的红黑树（下篇文章会讲解）
时间复杂度分析：
- 左旋和右旋操作仅需要改变几个指针，时间复杂度为
O
(
1
)
O(1)
O(1)，更新结点的深度以及获得平衡因子仅需要常数时间，所以平衡二叉树的删除操作的时间复杂度与二叉排序树BST的删除操作一样，均为
O
(
h
)
O(h)
O(h)，其中 h 为树的高度。由于AVL 树是平衡的，所以高度
h
=
l
o
g
N
h=logN
h=logN ，因此，AVL 删除操作的时间复杂度为
O
(
l
o
g
N
)
O(logN)
O(logN)
总结：
- AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即
O
(
l
o
g
N
)
O(logN)
O(logN)。
- 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
- 因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
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网站标题：C/C++数据结构（十一）——平衡二叉树（AVL树）-创新互联
网页地址：
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