我们从小就学习四则运算——加减乘除四则。我们也知道,要先乘除后加减,遇到括号要先算括号内的。可是,想让计算机进行这样的四则运算可不容易,它可不知道什么乘除优先,然后加减。那么,该如何让计算机也能进行这样的四则运算呢?就是通过栈。
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那么先来讲,中缀表达式转换成后缀表达式是如何通过栈实现的。我们假设有这么一个中缀表达式:
5 + 4 * 6 / ( 3 + 7 ) * 2 + 1
我们遵循这样的一个原则,遇到数字就直接将数字输出,遇到运算符就将运算符压入栈中。如果当前运算符跟栈顶运算符相比,优先级高于栈顶运算符,就将此运算符压入栈中,该运算符成为新的栈顶运算符。换言之,如果该运算符不高于栈顶运算符,则栈顶元素依次出栈,并将当前符号进栈。好了,开始转换。首先是5,所以,我们要将5输出,因为5是数字,遇到数字就直接输出,那么输出为:
5
接着是一个“+”,因为是运算符,所以将运算符入栈。
+
接着,仍然是数字,所以将4输出,
5 4
由于接下来的是一个乘号,所以,要将它与栈顶的运算符进行对比,发现*号优先级高于+号优先级,所以,将*号入栈,这样以来,栈顶元素就为*号。
+ *
由于6也是数字,所以,可以将其输出
5 4 6
接下来,是个关键。因为,接下来的一个符号是/号,所以,当它和*号对比时,发现/号优先级并不高于*号优先级,所以,将栈顶元素依次出栈,也就是
*
所以,目前,输出元素为
5 4 6 *
然后,将/号入栈,此时栈中只有一个符号/
+ /
接着,是一个左括号( ,所以要将(入栈,直到碰到)是将括号内的内容出栈。
+ / (
因为是数字,所以将3出栈
5 4 6 * 3
接着将+号入栈
+ / ( +
接着是一个数字7,很明显,将数字7出栈
5 4 6 * 3 7
这时碰到了),所以要将+出栈,
5 4 6 * 3 7 +
此时,栈中元素为,
+ /
接着是一个*号,将它与/号对比,发现,它不高于*号,所以,将/出栈,然后跟+号对比,发现高于+号,所以,*可以入栈了,所以,输出元素如下:
5 4 6 * 3 7 + /
栈中数据如下:
+ *
接着是一个数字2,将2直接输出
5 4 6 * 3 7 + / 2
接着是一个+号,优先级并不高于*号,也不高于栈底的+号,所以,将栈顶元素依次出栈,
5 4 6 * 3 7 + / 2 * +
然后将该+号入栈,所以,此时栈内元素为
+
当碰到最后一个1的时候,直接将1输出。
5 4 6 * 3 7 + / 2 * + 1
最后了,已经没有元素了,此时,就将栈中的+号输出,所以,最后,后缀表达式为:
5 4 6 * 3 7 + / 2 * + 1 +
此时,已经将我们人类认识的中缀表达式转换成了机器认识的后缀表达式。那么,此时,就可以开始运算了,运算还是需要借助栈。当碰到数字时,还是需要将数字压入栈,当碰到运算符时,从栈顶将元素取出,并进行运算。比如,5 4 6都是数字,于是,将5 4 6入栈,
5 4 6
接下来碰到了*号,所以,将6取出作为乘数,将4取出作为被乘数,进行相乘运算,4 * 6 = 24,此时,将运算结果24存入栈中。所以,栈中元素为:
5 24
因为3 7都是数字,所以,将3 7保存至栈中。
5 24 3 7
因为接下来碰到了一个+号,所以,将7和3取出,进行3 + 7 = 10的运算,然后将运算结果10放入栈中。
5 24 10
接下来是一个/号,所以,将10取出作为除数,将24取出作为被除数,所以,24 / 10 = 2.4,然后将2.4存入栈中,所以,
5 2.4
接下来,是一个数字2,所以,将2压入栈中
5 2.4 2
然后是一个乘号,所以将2和2.4取出,执行2.4 * 2 = 4.8,将4.8压入栈中
5 4.8
因为接下来是一个+号,所以将5和4.8取出,执行5 + 4.8 = 9.8,此时将9.8入栈
9.8
然后将数字1入栈
9.8 1
最后一个+号,所以将两个数出栈,执行9.8 + 1 = 10.8,最后运算结果为,10.8。到此就完全结束了。
其实,我举的这个例子是有问题的,栈中保存的是类型相同的元素,所以我这个例子举的不好,不过不影响总结计算机执行四则运算的过程。
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