时间复杂度与空间复杂度详解
- （一）时间复杂度和空间复杂度的作用？
- （二）时间复杂度和空间复杂度如何计算？
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（一）时间复杂度和空间复杂度的作用？
答：度量算法的效率
- 时间复杂度：用来衡量执行算法所花费的时间；
- 空间复杂度：用来衡量执行算法所占用的空间；
（二）时间复杂度和空间复杂度如何计算？
（1）时间复杂度
频度：一个语句的频度是指该语句在算法中被执行的次数。
时间复杂度，即分析算法中所有语句的频度之和T(n)的数量级。
因为算法中最深层循环内的语句的频度与T(n)同量级，因此通常采用算法中最深层循环内语句的频度f(n)来分析算法的时间复杂度。将其记作：
T
(
n
)
=
O
(
f
(
n
)
)
T(n)=O(f(n))
T(n)=O(f(n))
注意： 在实际计算中，一般取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置为1作为时间复杂度的度量。
例如：f(n)=an³+bn²+cn 的时间复杂度为 O(n³)；f(n)=5 的时间复杂度为O(1)
具体案例分析
- 类型一：
void func(n){int i,j;
for(i=0;ifor(j=i;j printf("每天进步一点点");
}
}
}
分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；
- 当 i=0 时—— j 对应深层循环执行 n 次
- 当 i=1 时—— j 对应深层循环执行 n-1 次
- …
- 当 i=n-1 时—— j 对应深层循环执行 1 次
- 则最深层循环语句执行次数为：
n
(
n
+
1
)
2
\frac{n(n+1)}{2}
2n(n+1)
② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O(n²) 。
- 类型二：
void func(n){int i;
for(i=1;iprintf("每天进步一点点");
}
}
分析：
① 找最深层循环内的语句的频度，即printf("每天进步一点点");的执行次数；
- 当循环内语句执行次数为 1 时—— i=1
- 当循环内语句执行次数为 2 时—— i=2
- 当循环内语句执行次数为 3 时—— i=2²
- …
- 当循环内语句执行次数为 k 时—— i=
2
k
−
1
2^{k-1}
2k−1
- 则如果当 i=
2
k
2^{k}
2k 时不满足条件 i
② 取f(n)中随n增长最快的项，将其系数置1，即该函数的时间复杂度为 O(
l
o
g
2
n
log_2n
log2n) 。
时间复杂度的比较
O(1)常数阶< O(logn)对数阶< O(n)线性阶< O(n²)平方阶< O(n³)(立方阶)< O(
2
n
2^n
2n) (指数阶)
（2）空间复杂度
一个程序在执行时所需空间包括：存储本身所用的指令、常数、变量和输入数据的空间，以及对数据进行操作处理所申请使用的辅助空间等。
空间复杂度，使用S(n)来定义算法所耗费的存储空间，记作
S
(
n
)
=
O
(
g
(
n
)
)
S(n)=O(g(n))
S(n)=O(g(n))
两种常见空间复杂度
- 如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1)。例如：
void func(n){int i=1;
int j=2;
int k=i+j;//算法空间与n无关
}
- 如果随着输入值 n 的增大，程序申请的临时空间也随之变化，则程序的空间复杂度需要具体分析，例如：
void func(n){int a[n];//所申请的空间随着n的取值而进行线性变化，空间复杂度为O(n)
}
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