在一般问题的优化中，最速下降法和共轭梯度法都是非常有用的经典方法，但最速下降法往往以”之”字形下降，速度较慢，不能很快的达到最优值，共轭梯度法则优于最速下降法，在前面的某个文章中，我们给出了牛顿法和最速下降法的比较，牛顿法需要初值点在最优点附近，条件较为苛刻。
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算法来源：《数值最优化方法》高立，P111
我们选用了64维的二次函数来作为验证函数，具体参见上书111页。
采用的三种方法为：
共轭梯度方法（FR格式）、共轭梯度法（PRP格式）、最速下降法
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sat Oct 01 15:01:54 2016
@author: zhangweiguo
"""
import sympy,numpy
import math
import matplotlib.pyplot as pl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D as ax3
import SD#这个文件里有最速下降法SD的方法，参见前面的博客
#共轭梯度法FR、PRP两种格式
def CG_FR(x0,N,E,f,f_d):
X=x0;Y=[];Y_d=[];
n = 1
ee = f_d(x0)
e=(ee[0]**2+ee[1]**2)**0.5
d=-f_d(x0)
Y.append(f(x0)[0,0]);Y_d.append(e)
a=sympy.Symbol('a',real=True)
print '第%2s次迭代：e=%f' % (n, e)
while nE:
n=n+1
g1=f_d(x0)
f1=f(x0+a*f_d(x0))
a0=sympy.solve(sympy.diff(f1[0,0],a,1))
x0=x0-d*a0
X=numpy.c_[X,x0];Y.append(f(x0)[0,0])
ee = f_d(x0)
e = math.pow(math.pow(ee[0,0],2)+math.pow(ee[1,0],2),0.5)
Y_d.append(e)
g2=f_d(x0)
beta=(numpy.dot(g2.T,g2))/numpy.dot(g1.T,g1)
d=-f_d(x0)+beta*d
print '第%2s次迭代：e=%f'%(n,e)
return X,Y,Y_d
def CG_PRP(x0,N,E,f,f_d):
X=x0;Y=[];Y_d=[];
n = 1
ee = f_d(x0)
e=(ee[0]**2+ee[1]**2)**0.5
d=-f_d(x0)
Y.append(f(x0)[0,0]);Y_d.append(e)
a=sympy.Symbol('a',real=True)
print '第%2s次迭代：e=%f' % (n, e)
while nE:
n=n+1
g1=f_d(x0)
f1=f(x0+a*f_d(x0))
a0=sympy.solve(sympy.diff(f1[0,0],a,1))
x0=x0-d*a0
X=numpy.c_[X,x0];Y.append(f(x0)[0,0])
ee = f_d(x0)
e = math.pow(math.pow(ee[0,0],2)+math.pow(ee[1,0],2),0.5)
Y_d.append(e)
g2=f_d(x0)
beta=(numpy.dot(g2.T,g2-g1))/numpy.dot(g1.T,g1)
d=-f_d(x0)+beta*d
print '第%2s次迭代：e=%f'%(n,e)
return X,Y,Y_d
if __name__=='__main__':
'''
G=numpy.array([[21.0,4.0],[4.0,15.0]])
#G=numpy.array([[21.0,4.0],[4.0,1.0]])
b=numpy.array([[2.0],[3.0]])
c=10.0
x0=numpy.array([[-10.0],[100.0]])
'''
m=4
T=6*numpy.eye(m)
T[0,1]=-1;T[m-1,m-2]=-1
for i in xrange(1,m-1):
T[i,i+1]=-1
T[i,i-1]=-1
W=numpy.zeros((m**2,m**2))
W[0:m,0:m]=T
W[m**2-m:m**2,m**2-m:m**2]=T
W[0:m,m:2*m]=-numpy.eye(m)
W[m**2-m:m**2,m**2-2*m:m**2-m]=-numpy.eye(m)
for i in xrange(1,m-1):
W[i*m:(i+1)*m,i*m:(i+1)*m]=T
W[i*m:(i+1)*m,i*m+m:(i+1)*m+m]=-numpy.eye(m)
W[i*m:(i+1)*m,i*m-m:(i+1)*m-m]=-numpy.eye(m)
mm=m**2
mmm=m**3
G=numpy.zeros((mmm,mmm))
G[0:mm,0:mm]=W;G[mmm-mm:mmm,mmm-mm:mmm]=W;
G[0:mm,mm:2*mm]=-numpy.eye(mm)
G[mmm-mm:mmm,mmm-2*mm:mmm-mm]=-numpy.eye(mm)
for i in xrange(1,m-1):
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm:(i+1)*mm]=W
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm-mm:(i+1)*mm-mm]=-numpy.eye(mm)
G[i*mm:(i+1)*mm,i*mm+mm:(i+1)*mm+mm]=-numpy.eye(mm)
x_goal=numpy.ones((mmm,1))
b=-numpy.dot(G,x_goal)
c=0
f = lambda x: 0.5 * (numpy.dot(numpy.dot(x.T, G), x)) + numpy.dot(b.T, x) + c
f_d = lambda x: numpy.dot(G, x) + b
x0=x_goal+numpy.random.rand(mmm,1)*100
N=100
E=10**(-6)
print '共轭梯度PR'
X1, Y1, Y_d1=CG_FR(x0,N,E,f,f_d)
print '共轭梯度PBR'
X2, Y2, Y_d2=CG_PRP(x0,N,E,f,f_d)
figure1=pl.figure('trend')
n1=len(Y1)
n2=len(Y2)
x1=numpy.arange(1,n1+1)
x2=numpy.arange(1,n2+1)
X3, Y3, Y_d3=SD.SD(x0,N,E,f,f_d)
n3=len(Y3)
x3=range(1,n3+1)
pl.semilogy(x3,Y3,'g*',markersize=10,label='SD:'+str(n3))
pl.semilogy(x1,Y1,'r*',markersize=10,label='CG-FR:'+str(n1))
pl.semilogy(x2,Y2,'b*',markersize=10,label='CG-PRP:'+str(n2))
pl.legend()
#图像显示了三种不同的方法各自迭代的次数与最优值变化情况，共轭梯度方法是明显优于最速下降法的
pl.xlabel('n')
pl.ylabel('f(x)')
pl.show()
当前文章：基于Python共轭梯度法与最速下降法之间的对比-创新互联
网页URL：
http://cdkjz.cn/article/dgedjo.html
