存在反函数的函数一定单调吗?为什么？反函数不一定是单调函数。事实上，单调性是反函数存在的充要条件。如果函数是分段单调的，则可以分别处理每一段，并求出每一段的逆函数。但是我们应该知道，一段的反函数不是整个域的反函数。对于连续函数，单调性是反函数存在的一个充要条件。如果你只是一个高中生，你需要理解上面的结论（你不需要记住它们），你不需要再看下去：这里有一个例子，证明了逆函数的存在，尽管函数不是单调的：设f是从R到R的映射。当x是有理数时，f（x）=x，当x是有理数时一个无理数，f（x）=-x。用这种方法构造的函数不是处处单调的，而是存在逆函数。
单调函数才有反函数这句话对吗？为什么？
不正确。只有一对一的对应函数才有反函数。虽然单调函数都是一对一的函数。但是一对一的函数并不一定是单调的。所以不仅单调函数有反函数。例如，如果f（x）=1/x，则该函数在定义域中不是单调的，而是一对一的对应函数，因此也存在逆函数。换句话说，单调函数有逆函数，但不是单调函数的函数不一定有逆函数。所以这句话是错的。
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反函数一定是单调函数吗？严格单调函数必有反函数？
是的，严格单调函数必须有反函数。
证明了：
设原函数为y=f（x），x=f-1（y），假设它没有反函数，即f-1不是一个函数，所以有两个不同的点X1和X2，
f-1（Y0）={X1，X2}导致Y0=f（X1）和Y0=f（X2）
设X1<x2，然后单调函数有
f（x1）<F（x2）或f（x1）>F（x2），即Y0<y0或Y0>y0。
有反函数为什么一定要是单调的？
如果有反函数，谁说原来的函数必须是单调的不是很准确。单调函数必须是逆函数。证明（在连续性的情况下），因为函数的定义是一个自变量对应于一个函数值（即X对应于Y），函数的逆函数也必须满足函数的定义，所以如果它不是单调函数（一个Y对应于多个X），反函数定义反函数后会出现一个自变量对应多个函数值（一个X对应多个y）的情况：在定义域中，如果任意一个X值，只有一个y值对应，任意一个y值，只有一个X值对应，函数将具有反函数。例如：y=1/X，它在整个域中不是单调的，但具有反函数。确切地说，如果一个函数有一个逆函数，并且函数在一个区间内是连续的（直观地说，它的图像是一条连续曲线），那么函数在这个区间内必须是严格单调的。它需要一点高等数学知识来证明，但如果你能直观地思考并画出一幅图，就很容易看出来。
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