文章目录
- 📖 前言
- 1. AVL树的概念
- 1.1 二叉搜索树的缺点：
- 1.2 AVL树的引入：
- 1.2 AVL树的性质：
- 2. AVL树的模拟实现
- 2.1 AVL树结点的定义：
- 2.2 AVL树的插入：（重点）
- 2.2.1 插入结点后平衡因子的变化
- 2.2.2 插入结点后对其他结点衡因子的影响
- 2.2.3 在不同位置插入情况分析处理
- 2.3 AVL树的旋转操作：（重点）
- 2.3.1 左单旋
- 2.3.2 右单旋
- 2.3.3 左右双旋
- 2.3.4 右左双旋
- 3. 验证AVL树
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- 上一章节我们学习了二叉搜索树，并且模拟实现了二叉搜索树的实现。
- 在学习完之后我们知道二叉搜索树查找的时间复杂度是〇（N），这里并不是〇（logN） 具体的原因就是要搜索的二叉树并不是非常的平衡。
- 并不是所有要查找的二叉树都是满二叉树或者是完全二叉树，有可能是单边树的情况，平均下来的时间复杂度就是〇（N）。
前情回顾：二叉搜索树 👉传送门
本章我们将学习AVL树，来解决上一章节二叉搜索树的查找时二叉树不平衡的问题，搬好小板凳准备开讲啦~~~ 🙋 🙋 🙋 🙋 🙋
1. AVL树的概念
1.1 二叉搜索树的缺点：
- 二叉搜索树虽可以减少查找的效率，但如果数据有序或接近有序时二叉搜索树将退化为单边树
- 这时查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下
- 而且如果二叉树查找是用递归实现的话，那么这种情况查找很有可能会导致栈溢出（爆栈）！！！
1.2 AVL树的引入：
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis（AVL树就是以这两位科学家的名字命名的）
在1962年发明了一种解决上述问题的方法：
当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
1.2 AVL树的性质：
首先AVL树是一棵二叉搜索树，一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 任何一颗子树左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（-1 / 0 / 1）
平衡不是相等，与满二叉树和完全二叉树比较一下：（节点外数字代表平衡因子）
- 满二叉树： 保证每个子树高度差是0
- 完全二叉树： 最后一层缺一些结点
- AVL树： 最后两层缺一些结点
AVL树又叫高度平衡二叉搜索树。
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 〇（logN）搜索时间复杂度 〇（logN）。
2. AVL树的模拟实现
2.1 AVL树结点的定义：
具体代码如下：
templatestruct AVLTreeNode
{pair_kv;
AVLTreeNode* _left;
AVLTreeNode* _right;
AVLTreeNode* _parent;
int _bf;
AVLTreeNode(const pair& kv)
: _kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
AVL树并没有规定必须要设计平衡因子，只是一个实现的选择，方便控制平衡。
2.2 AVL树的插入：（重点）
这里链接是比较容易的，但是链接之后对各个结点中的平衡因子的调整则是比较费劲的。
2.2.1 插入结点后平衡因子的变化
1. 首先我们来一段简单的逻辑 —— 只考虑父子之间关系：
- 当一个结点的左或者右链接了一个结点，该结点为链接结点的父节点
- 当该父节点的右边连接上孩子时，此时该父节点的右子树比左子树高了一层，平衡因子_bf + +
- 当该父节点的左边连接上孩子时，此时该父节点的左子树比右子树高了一层，平衡因子_bf – –
如图所示：
2.2.2 插入结点后对其他结点衡因子的影响
2. 插入一个结点对整个树的影响：
- 插入一个结点真正会影响的是其祖先的平衡因子的改变
- 同时插入一个结点对兄弟结点的平衡因子没有影响
如图所示：
2.2.3 在不同位置插入情况分析处理
3. 在链接新的结点的时候要满足AVL树的规则
(1)向上更新：
- 更新新插入节点祖先的平衡因子
- 没有违反规则就结束了，违反规则，不平衡了就需要处理
- 这里的处理是旋转处理（接下来会重点介绍）
- 在更新的过程中只要是发现违反了AVL树规则的就需要旋转处理
(2)如何向上更新：
- 更新的方式是沿着祖先路径更新（回溯）
- 将parent结点更新到它的_parent位置上，将cur结点更新到它的_parent位置上
- 在这个过程中一旦发现有违反AVL树规则的时即parent的平衡因子变成2或-2时
- 这时就需要进行旋转处理
具体过程如下：
- 子树高度变了，就要继续往上更新
- 子树的高度不变, 则更新完成
- 子树违反平衡规则，则停止更新, 旋转子树
情况一：
情况二：
情况三：
我们讨论问题要将各个方面的都要考虑到位才行，即使前面都正确是不会走到这一步的，但是为了万无一失还是要将这一步写上。
情况四：
具体代码如下：
bool Insert(const pair& kv)
{if (_root == nullptr)
{_root = new Node(kv);
_root->_bf = 0;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{if (cur->_kv.first< kv.first)
{ parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first >kv.first)
{ parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{ return false;
}
}
//找到符合规则的位置之后再插入
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first< kv.first)
{parent->_right = cur;
}
else
{parent->_left = cur;
}
//三叉链的链接 -- 链上父节点
cur->_parent = parent;
while (parent)
{if (cur == parent->_right)
{ parent->_bf++;
}
else if (cur == parent->_left)
{ parent->_bf--;
}
//是否继续更新
if (parent->_bf == 0) //原来是 1 or -1 -->0 （插入结点填在了矮的那一边）
{ //高度不变，更新结束
break;
}
else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
//原来是 0 -->1 or -1 （插入结点导致一边变高了）
{ //子树的高度变了，继续更新祖先
cur = cur->_parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
//原来是 1 or -1 -->2 or -2 （插入结点导致本来高的一边又变高了）
{ //子树不平衡了 -- 需要旋转处理（左单旋的特征 -- 右边高）
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//左单旋
{ RatateL(parent);
}
//子树不平衡了 -- 需要旋转处理（右单旋的特征 -- 左边高）
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//右单旋
{ RatateR(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)//左右双旋
{ RatateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)//右左双旋
{ RatateRL(parent);
}
//旋转完之后ppNode为根的子树高度不变 -- 所以对ppNode的平衡因子没有影响
break;
}
else // 一定要检查 -- 不保证其他地方不会出现错误
{ //插入之前AVL数就存在平衡子树，|平衡因子| >= 2结点
assert(false);
}
}
return true;
}
2.3 AVL树的旋转操作：（重点）
上述我们已经阐述了，在什么情况下需要对AVL树进行旋转操，接下来我们就来讲一下具体的旋转步骤。
旋转原则：
旋转一共分为四种旋转方式：
2.3.1 左单旋
当右子树高的时候，这时就要向左旋转。
旋转过程：
- 将要旋转的子树的根节点设为parent，根结点的右子树为subR，subR的左节点为subRL
- 将subRL给parent的右，再将parent给subR的左
- 改变其链接关系即可
- 这样一来subR做了子树的根，根结点的左右子树高度差从2变成了0
旋转详情图：
原理：
- 左旋转的目的是将左子树变高
- 本来右子树高，向左旋转之后，将左子树和右子树变得一样高
- 根节点的右子树的所有结点肯定比根结点大
- 所以subRL可以放在parent->left
- subRL肯定比subR小，parent也比subR小
- 所以都可以放在subR的左边
代表所有情况的抽象图长方形条表示的是子树
下面来讨论一下h
此时有两种情况，新增的节点有可能是链接在这棵树最右边结点的，左边也有可能是链接在右边
此时一共有36种情况
解释：
- 因为是左单旋，所以这棵树的最左边一定是高度为二的满二叉树
- 不然要是用其余两种非满二叉树的情况，肯可能空白的子树都已经不满足AVL树了，局部子树就要旋转了
- 一共有三个位置插入空白子树，最后一个已经定下来了，所以还剩两个位置
- 剩下的两个位置每个位置能有三种空白子树可以选择，所以是3 * 3一共9种
- 固定下来的空白子树可以新增结点的位置一共有4处
- 所以综上所述一共有9 * 4一共36种
- 此时一定是比h == 2时候的情况更复杂
- 所以层数越高，情况就越多
- 所以我们用长方形代替了子树
具体代码如下：
//右边高就要左旋转
//左单旋
void RatateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL != nullptr)
{subRL->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{if (parent == ppNode->_left)
{ ppNode->_left = subR;
}
else if(parent == ppNode->_right)
{ ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
//更新平衡因子
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
同时代码的一些细节也是需要把控的
- subRL可能是nullptr空指针，要加以判断不然会引起非法访问
- parent有可能就是树的根，parent也有可能只是整个树的局部子树
- 所以要将parent->_parent先保存起来，方便之后的链接工作
2.3.2 右单旋
当左子树高的时候，这时就要向右旋转。
旋转详情图：
旋转过程：
与左单旋一样当讨论h时，也能分出很多种，h = 1时是2种，h = 2时36种。
具体代码如下：
//左边高就要右旋转
//右单旋
void RatateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR != nullptr)
{subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = parent->_parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{_root = subL;
subL->_parent = nullptr;
}
else
{if (ppNode->_left == parent)
{ ppNode->_left = subL;
}
else if (ppNode->_right == parent)
{ ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
//更新平衡因子
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
细节把控也与左单旋类似可以参考左单旋。
2.3.3 左右双旋
光有左右单旋是解决不了所有问题的，如图所示就是特殊情况：
如图所示，很显然右单旋并没有解决问题，旋转之后仍然不是AVL树，此时我们就引入了双旋：
旋转详情图：
同样可以对h进行讨论，也会对应很多种情况，不再一 一赘述。
具体代码如下：
//左右双旋
void RatateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RatateL(parent->_left);
RatateR(parent);
//更新平衡因子 -- 全是0的情况也要单独写，不要依赖单旋
if (bf == 0)
{parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{parent->_bf = 1;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{//subLR->_bf旋转前就有问题
assert(false);
}
}
两种解决方案：
- 将单旋中更新的平衡因子拿出来
- 旋转之前将位置记录下来
我们采用第一种方法，单独将平衡因子拿出来处理。
2.3.4 右左双旋
旋转详情图：
同样的右左双旋和左右双旋差不多，可以参考上文。
具体代码如下：
//右左双旋
void RatateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RatateR(parent->_right);
RatateL(parent);
if (bf == 0)
{subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
}
else
{//subLR->_bf旋转前就有问题
assert(false);
}
}
3. 验证AVL树
我们先增加几个成员函数：
1.层序遍历打印树
void levelOrder()
{vector>vv;
if (_root == nullptr)
{return;
}
queueq;
int levelSize = 1;
q.push(_root);
while (!q.empty())
{//levelSize控制一层一层出
vectorlevelV;
while (levelSize--)
{ Node* front = q.front();
q.pop();
levelV.push_back(front->_kv.first);
if (front->_left != nullptr)
{ q.push(front->_left);
}
if (front->_right != nullptr)
{ q.push(front->_right);
}
}
vv.push_back(levelV);
for (auto e : levelV)
{ cout<< e<< " ";
}
cout<< endl;
//上一层出完，下一层就都进队列
levelSize = q.size();
}
}
2.中序遍历二叉树：
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout<< root->_kv.first<< " ";
_InOrder(root->_right);
}
void InOrder()
{_InOrder(_root);
cout<< endl;
}
3.求二叉树高度：
int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)
{return 0;
}
//后续的方式
int lh = _Height(root->_left);
int rh = _Height(root->_right);
return lh >rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
int Height()
{return _Height(_root);
}
验证一：
void TestAVLTree()
{//升序 -- 右边高左单旋
//int arr[] = { 1,2,3,4,5,6,7,8 };
//降序 -- 左边高右单旋
int arr[] = {8,7,6,5,4,3,2,1 };
AVLTreet;
for (auto e : arr)
{t.Insert(make_pair(e, e));
}
t.levelOrder();
}
如图所示的两棵树均是满足AVL树，但是这这种验证还是不太严谨。
3.1 严格验证AVL树：
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{//空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
//计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
//求差值
int diff = rightHeight - leftHeight;
//如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
//pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{cout<< root->_kv.first<< "结点平衡因子异常"<< endl;
return false;
}
//平衡因子没有异常但是和结点的对不上
if (diff != root->_bf)
{//说明更新有问题
cout<< root->_kv.first<< "结点平衡因子不符合实际"<< endl;
return false;
}
//pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
//把自己和自己的左右子树都检查了，递归检查
return _IsBalanceTree(root->_left)
&& _IsBalanceTree(root->_right);
}
bool IsBalanceTree()
{return _IsBalanceTree(_root);
}
验证二：
void TestAVLTree()
{const size_t N = 1024 * 1024 * 10;
vectorarr;
arr.reserve(N);//避免频繁扩容
srand(time(0));
for (size_t i = 0; i< N; i++)
{arr.push_back(rand());
//arr.push_back(i);
}
AVLTreet;
for (auto e : arr)
{t.Insert(make_pair(e, e));
}
cout<< "是否平衡？"<< t.IsBalanceTree()<< endl;
cout<< "高度："<< t.Height()<< endl;
//t.InOrder();
}
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