动态规划——最长上升子序列模型-创新互联

最长上升子序列模型：

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

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输入格式：

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式：

输出一个整数，表示大长度。

例如：3 1 2 1 8 5 6这个序列的最长递增子序列长度为4（1 2 5 6）。

思路：

f[i]表示以i为结尾的所有上升子序列中最长的那个序列的长度。状态计算：f[i]=f[j]+1，f[j]为i前面的子序列中可以连接到i前面的最长的一个序列（也就是j

代码如下：

#includeusing namespace std;
const int N = 1010;
int f[N], a[N];
int n, res = 1;

int main() {
    cin >>n;

    for (int i = 0; i< n; i++) {
        cin >>a[i];
        f[i] = 1;

        for (int j = 0; j< i; j++)
            if (a[j]< a[i]) {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
                res = max(res, f[i]);
            }
    }

    cout<< res;
    return 0;
}

例题：

1.怪盗基德：

假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。

初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。

他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向。

因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。

他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部。

请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部。

输入格式：

输入数据第一行是一个整数K，代表有K组测试数据。

每组测试数据包含两行：第一行是一个整数N，代表有N幢建筑。第二行包含N个不同的整数，每一个对应一幢建筑的高度h，按照建筑的排列顺序给出。

输出格式：

对于每一组测试数据，输出一行，包含一个整数，代表怪盗基德最多可以经过的建筑数量。

思路：

我们求出以每个点为结尾的最长上升子序列的长度，就是求出了以每个点为起点向左往下飞的最多建筑数量；

我们求出以每个点为结尾的最长下降子序列的长度，就是求出了以每个点为终点的往右飞的最多建筑数量。

所以我们求出两者取大值即可。

代码如下：

#includeusing namespace std;
const int N = 110;
int a[N], f_up[N], f_down[N];
int K, n;

int main() {
    cin >>K;

    while (K--) {
        cin >>n;
        int max_u = 1, max_d = 1;

        for (int i = 0; i< n; i++) {
            cin >>a[i];
            f_up[i] = f_down[i] = 1;

            for (int j = 0; j< i; j++) {
                if (a[j]< a[i]) { f_up[i] = max(f_up[i], f_up[j] + 1); max_u = max(max_u, f_up[i]); }
                else if (a[j] >a[i]) { f_down[i] = max(f_down[i], f_down[j] + 1); max_d = max(max_d, f_down[i]); }
            }

        }
        cout<< max(max_u, max_d)<< endl;
    }

    return 0;
}

2.登山：

山上一共有N个景点，每个景点有对应的编号。

队员决定按照顺序来浏览这些景点，即每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。

同时队员们还有另一个登山习惯，就是不连续浏览海拔相同的两个景点，并且一旦开始下山，就不再向上走了。

问最多能浏览多少个景点。

思路：

要求的是先上升再下降的最长子序列。

从前往后求一遍上升子序列；

从后往前求一遍上升子序列（相当于从前往后下降）。

然后找出哪个点的上升和下降子序列之和大，答案就是大值减一。

代码如下：

#includeusing namespace std;

const int N = 1010;
int a[N], f_up[N], f_down[N];
int n, res = 1;

int main() {
    cin >>n;

    for (int i = 0; i< n; i++) {
        cin >>a[i];
        f_up[i] = 1;

        for (int j = 0; j< i; j++)
            if (a[j]< a[i])f_up[i] = max(f_up[i], f_up[j] + 1);

    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        f_down[i] = 1;

        for (int j = n - 1; j >i; j--)
            if (a[j]< a[i])f_down[i] = max(f_down[i], f_down[j] + 1);

        res = max(res, f_down[i] + f_up[i]);
    }

    cout<< res - 1;

    return 0;
}

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