如何解决多元函数求极值问题，相信很多没有经验的人对此束手无策，为此本文总结了问题出现的原因和解决方法，通过这篇文章希望你能解决这个问题。
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今天来讨论多元函数求极值问题，在Logistic回归用牛顿迭代法求参数会用到，所以很有必要把它研究清楚。
回想一下，一元函数求极值问题我们是怎样做的？比如对于凹函数
，先求一阶导数，得
，
由于极值处导数一定为零，但是导数等于零的点不一定就有极值，比如
。所以还需要进一步判断，对
函数继续求二阶导得到
，因为在驻点
处二阶导数
成立，所以
在
处取得极小值，二阶导数在这里的意义就是判断函数局部的凹凸性。
在多元函数中求极值的方法类似，只是在判断凹凸性这里引入了一个矩阵，叫做Hessian矩阵。
如果实值多元函数
在定义域内二阶连续可导，那么我们求它的极值，首先对所有
求偏导，即
得到
个方程如下
通过这
个方程可以解得驻点
，这个驻点是一个长度为
的一维向量。但是我们仅仅得到这个驻点，其实在这
个驻点有3种情况，分别是：局部极大值，局部极小值和非极值。
所以接下来要做的事就是判断这个驻点
属于这3个中的哪一个。所以就引入了Hessian矩阵，也就是说它用来
判断在多元函数的凹凸性问题。
Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率，常用于牛顿迭代法解决优化问题。
例如对于上面的多元函数
，如果它的二阶偏导数都存在，那么Hessian矩阵如下
如果函数
在定义域内二阶连续可导，那么
的Hessian矩阵
在定义域内为对称矩阵，因为如果函数
连
续，则二阶偏导数的求导顺序没有区别，即
有了Hessian矩阵，我们就可以判断上述极值的3种情况了，结论如下
（1）如果
是正定矩阵，则临界点
处是一个局部极小值
（2）如果
是负定矩阵，则临界点
处是一个局部极大值
（3）如果
是不定矩阵，则临界点
处不是极值
接下来继续学习如何判断一个矩阵是否是正定的，负定的，还是不定的。
一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵
为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零。
由于这个方法涉及到行列式的计算，比较麻烦！ 对于实二次型矩阵还有一个方法，描述如下
实二次型矩阵
为正定二次型的充要条件是
的矩阵
的特征值全大于零。为负定二次型的充要条
件是
的矩阵的特征值全小于零，否则是不定的。
看完上述内容，你们掌握如何解决多元函数求极值问题的方法了吗？如果还想学到更多技能或想了解更多相关内容，欢迎关注创新互联行业资讯频道，感谢各位的阅读！
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